Le sujet 2008 - Bac STI Génie Electronique - Mathématiques - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur la résolution d'une équation complexe
du second degré et sur les propriétés géométriques des images des
solutions. |
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'unité graphique 1 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument.
1. Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation :
2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
et
a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes zA et zB
b) Ecrire le nombre complexe zA sous
la forme reiθ où r est un nombre réel
strictement positif et θ un nombre réel compris entre -π et π
c) Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère .
3.
a) Déterminer la nature du triangle ABC.
b) En déduire que le quadrilatère OACB est un losange.
4. On appelle K le point du plan complexe d'ordonnée
négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.
On note zK l'affixe du point K.
a) Construire le point K sur la figure.
b) Par quelle rotation de centre O, le point K est-il l'image du point
A ?
c) Ecrire alors zK sous la forme reiθ
(où r est un nombre réel strictement positif et θ un réel compris
entre -π et π puis sous forme algébrique.
(5 points)
I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET
Le sujet porte sur les images des solutions d'une équation
complexe du second degré.
Il faut bien faire attention à l'encadrement imposé pour déterminer les
arguments.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Equation complexe du second degré
● Module et argument
● Forme algébrique et forme trigonométrique
● Rotation
III - LES RESULTATS
1.
2. a)
b)
3.a) Le triangle ABC est un triangle équilatéral.
b) Le quadrilatère OACB est un losange.
4.
IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
1. Soit l'équation : .
On a
Δ = 3 × 36 — 4 × 36
Δ = −36
Δ = 36i²
D'où les solutions :
et
2.
a)
Or
Donc
On a donc
Soit θ un argument de zA.
On a alors et
D'où
Et comme
Si θ ' est un argument de zB
On aura
b) On a |zA| = 6
Et
Donc
c) Voir graphique
3.
a)
= |−6i| = 6
On a donc
AC = AB = BC
Le triangle ABC est un triangle équilatéral.
b) On sait également que
|zB| = |zA| = 6
Donc OA = AC = BC = OB = 6
Le quadrilatère OACB est un losange.
4.
a) Voir graphique.
b) OAK est un triangle rectangle isocèle en O.
Donc OA = OK
Et
Le point K est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle .
c) On a