Annales gratuites Bac ES : Console de jeux

(5 points)
(Commun à tous les candidats)

Une salle de jeu comporte deux consoles identiques proposant le même jeu.
Un jour, l'une des deux est déréglée.
Les joueurs ne peuvent pas savoir laquelle des deux est déréglée.

1. Ce jour-là, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et il joue une partie sur cette console.
On note :
● D l'événement "le joueur choisit la console déréglée" et l'événement contraire.
● G l'événement "le joueur gagne la partie" et l'événement contraire.

Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequel figurent certaines probabilités :

Ainsi 0,7 est la probabilité que le joueur gagne sachant qu'il a choisi une console déréglée.
a. Reproduire cet arbre sur la copie et compléter.
b. Calculer la probabilité de l'événement "le joueur choisit la console déréglée et il gagne".
c. Calculer la probabilité de l'événement "le joueur choisit la console non déréglée et il gagne".
d. Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45.
e. Calculer la probabilité que le joueur ait choisi la console déréglée sachant qu'il a gagné.

2. Trois fois successivement et de façon indépendante, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et joue une partie.
Calculer la probabilité de l'événement "le joueur gagne exactement deux fois". Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième.

I - L'ANALYSE DU SUJET

Un calcul de probabilités pour gagner au jeu.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

- Probabilité conditionnelle
- Théorème des probabilités totale
- Loi binomiale

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

La difficulté est d'interpréter les probabilités proposées dans l'arbre.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Savoir lire une situation aléatoire modélisée par un arbre incomplet et identifier un processus de Bernoulli.

V - LES RESULTATS

1.
a.

2. 0.334

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.
a.

P(D) = 0,5 P_D(G) = 0,7

d. On a
Donc (théorème des probabilités totales)
        P(G) = 0,35 + 0,1
 d'où P(G) = 0,45

e.
    
d'où

2. Nous sommes en présence d'un processus de Bernoulli car il y a une répétition de trois épreuves indépendantes présentant chacune deux issues : soit le joueur gagne avec une probabilité de 0,45 soit il perd avec une probabilité de 0,55 (loi binomiale).
Donc la probabilité de l'événement "le joueur gagne exactement deux fois" est égale à

Soit 0,334 au millième près.