Annales gratuites Bac S : Equation complexe

(5 points)

Partie A

On considère l'équation : (E) z³ — (4 + i) z² + (13 + 4i) z — 13i = 0 où z est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de l'équation.
2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
z³ — (4 + i) z² + (13 + 4i) z — 13i = (z — i)(az² + bz + c).

En déduire les solutions de l'équation (E).

Partie B

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct, on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, 2 + 3i et 2 — 3i.

1. Soit r la rotation de centre B et d'angle. Déterminer l'affixe du point A', image du point A par la rotation r.

2. Démontrer que les points A', B et C sont alignés et déterminer l'écriture complexe de l'homothétie de centre B qui transforme C en A'.

I - L'ANALYSE DU SUJET

On résout une équation complexe et l'on étudie des propriétés géométriques des images des solutions.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Équation complexe ;
● Rotation ;
● Homothétie.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Peu de difficulté, on utilise simplement des formules à connaître.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Définition complexe d'une rotation et d'une homothétie.

V - LES RESULTATS

Partie A :

1. i est une solution de (E).

2. a = 1 ; b = —4 ; c = 13.

3. i ; 2 + 3i ; 2 — 3i.

Partie B :

1.
2. A', B, C alignés et .

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A :

1. Soit l'équation (E) : z³ — (4 + i)z² + (13 + 4i)z — 13i = 0

Remplaçons z par i dans (E), on obtient :
i³ — (4 + i)i² + (13 + 4i)i — 13i = 0

—i + 4 + i + 13i — 4 — 13i = 0

Cette égalité est vraie donc i est solution de (E).

2. Pour tout z Î C, on a :

(z — i)(az² + bz + c) = az³ + z²(b — ai) + z(c — ib) — ic

Et donc :

az³ + z²(b — ai) + z(c — ib) — ic = z³ — (4 + i)z² + (13 + 4i)z — 13i

Pour tout z Î C, si et seulement si :

donc a = 1, b = —4 et c = 13
donc l'équation (E) équivaut à :

(z — i)(z2 — 4z + 13) = 0

3. (z — i)(z² — 4z + 13) = 0   si et seulement si z = i ou z² — 4z + 13 = 0.
On a : D = 16 — 52
             = —36
             = 36
d'où les solutions

Les solutions de l'équation (E) sont :
i ; 2 + 3i ; 2 — 3i.

Partie B :

1. Soit r la rotation de centre B et d'angle .

A' est l'image de A, on a donc :

d'où :    

2. Les affixes des trois points A', B et C ont la même partie réelle 2 ; ces trois points sont alignés, on a :

    et    

donc le rapport de l'homothétie qui transforme C en A' est tel que :

    d'où :  

L'écriture complexe de l'homothétie de centre B et de rapport k est de la forme :

soit :