Annales gratuites Bac STI Génie Matériaux : Equation différentielle

(5 points)

On considère l'équation différentielle (E) suivante :

où y est une fonction de la variable réelle x et y'' sa dérivée seconde.

1. Soit g la fonction numérique définie pour tout nombre réel x par :

Vérifier que la fonction g est une solution de l'équation différentielle (E).

2.
a. Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E).

b. Déterminer la solution particulière f de l'équation différentielle (E) qui vérifie :

c. Montrer que, pour tout nombre réel x, f(x) peut s'écrire sous la forme :

d. Résoudre dans l'intervalle [0 ; 3] l'équation f(x) = 1.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Résolution d'une équation différentielle de 2^ème ordre et recherche d'une solution particulière.
Il faut ensuite résoudre une équation trigonométrique ce qui demande rigueur et méthode.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Equations différentielles du type .
● Fonctions trigonométriques
● Equations trigonométriques

III - LES RESULTATS

1. g vérifie E.

2.
a. ,

b.

c.

d. x = 0 ou

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Soit l'équation différentielle (E).

et g la fonction telle que :

On a alors :

En effet,  et

et donc

et donc pour :

donc g est solution de (E).

2.
a.

soit encore

L'équation (E) est une équation différentielle de la forme  avec  dont les solutions sont de la forme :

Soit içi, , , .

b. On a  et

donc

donc A = 1.

donc B = 1

et donc f, la solution particulière recherchée est définie par :
,

c. On sait que
donc

et donc

soit la solution particulière déterminée à la question précédente.

d. Pour résoudre l'équation f(x) = 1, utilisons la 2^ème expression de f

soit donc

c'est-à-dire

ou encore

or

donc ici

Et donc soit , soit x = 0 pour l'intervalle [0 ; 3]