Le sujet 2004 - Bac STI Génie Electronique - Mathématiques - Problème |
PROBLEME (11 points)
Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur par f(x) = (ax 2 + bx + c) e-x où a, b et c désignent trois nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté Cf la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni du repère orthogonal d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées.
On admet que la droite D passe par A et est tangente à la courbe Cf au point B.
1. a) A l'aide d'une lecture graphique, déterminer les coordonnées entières des points A et B.
En déduire f(-3) et f(0).
b) Montrer qu'une équation de la droite (AB) est : y = x + 3. En déduire la valeur de f '(0).
2. a) Montrer que, pour tout x appartenant à , f '(x) = (-ax2 + (2a - b)x + b - c) e-x.
b) En déduire f '(0), en fonction de b et c.
3. a) En utilisant les questions précédentes, montrer que les réels a, b et c sont solutions du système
.
b) Résoudre le système et en déduire l'expression de f(x) en fonction de x.
Partie B
On suppose que f est définie sur par f(x) = (x2 + 4x + 3) e-x.
1. a) Vérifier que pour x différent de zéro, .
b) Déterminer la limite de la fonction f en + ¥ . En déduire une asymptote à la courbe Cf.
c) Déterminer la limite de la fonction f en - ¥ .
2. a) Vérifier que pour tout x appartenant à f '(x) = (-x2 - 2x + 1) e-x.
b) Pour tout x réel, étudier le signe de f '(x) et dresser le tableau de variations de la fonction f.
c) Calculer une valeur approchée à 10-1 près de l'ordonnée de chacun des points de la courbe Cf où la
tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
3. Montrer que l'équation f(x) = 2 admet une solution unique a pour x appartenant à [-1 ; 0]. Donner un encadrement de a d'amplitude 10-2.
Partie C
1. Soit F la fonction définie sur par F(x) = (-x2 - 6x - 9) e-x. Montrer que F est une primitive de f sur .
2. En déduire une primitive G de la fonction g sur définie par g(x) = x + 3 - f(x).
3. On considère la partie du plan comprise entre la droite D, la courbe Cf et les droites d'équations x = -3 et x = 0.
On désigne par A la valeur, exprimée en cm2, de l'aire de cette partie.
Calculer A.
I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?
Etude d'une fonction exponentielle suivie d'un calcul d'aire.
II - LE DEVELOPPEMENT
PARTIE A
1. a)
Les coordonnées du point A sont (-3, 0) et celles du point B sont (0,3). b) Le coefficient directeur de la droite (AB) est
d'où a = 1
De plus l'ordonnée à l'origine de la droite (AB) est 3.
Donc l'équation de la droite (AB) est : y = x + 3.
2. a) f (x) = (ax2 + bx + c) e-x.
Posons
u (x) = ax2 + bx + c
v (x) = e-x
u ' (x) = 2 ax + b
v ' (x) = - e-x
Comme f = uv alors f ' = u'v + v'u.
On a donc pour tout réel x :
f ' (x) = (2 ax + b) e-x - e-x (ax2 + bx + c)
f ' (x) = (2 ax + b - ax2 - bx - c) e-x
D'où f ' (x) = (- ax2 + (2a - b) x + b - c) e-x.
b) On en déduit :
f ' (0) = b - c.
3. a) f (-3) = 0 équivaut à (9a - 3b + c) e-3 = 0
Soit 9a - 3b + c = 0 car e-3 ¹
0.
f (0) = 3 équivaut à c = 3.
Comme la droite (AB) est tangente à la courbe Cf en B alors le coefficient directeur de cette
tangente est f ' (0).
Comme f ' (0) = 1 alors on a :
b - c = 1.
On obtient donc le système suivant :
b)
On en déduit
f (x) = (x2 + 4x + 3) e-x.
PARTIE B
1. a)
Pour tout x ¹ 0 b)
Donc
car
D'où
On en déduit que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe Cf .
c)
D'où
2. a) Comme f ' (x) = (-ax2 + (2a - b) x + b - c) e-x
et que a = 1, b = 4 et c = 3
alors f ' (x) = (-x2 + (2 ´
1 - 4) x + 4 - 3) e-x
Soit f ' (x) = (-x2 - 2x + 1) e-x.
b) f ' (x) est du signe de -x2 - 2x + 1 car e-x > 0 pour tout réel x.
Pour étudier le signe de -x2 - 2x + 1, il faut calculer le discriminant D
puis les racines éventuelles.
D
= 8.
ou
f ' (x) £
0 pour x appartenant à l'intervalle
f ' (x) ³
0 pour x appartenant à l'intervalle
Il en résulte le tableau de variation de la fonction f.
c) L'ordonnée de chacun des points de la courbe Cf où la tangente est parallèle à l'axe des
abscisses est
à 10-1 près par défaut et
à 10-1 près pas excès.
3. f est strictement croissante sur l'intervalle [-1 ; 0] de plus f (-1) = 0 et f (0) = 3.
Donc f réalise une bijection de l'intervalle [-1 ; 0] vers l'intervalle [0 ; 3].
Comme 2 appartient à l'intervalle [0 ; 3] alors il existe un réel unique a
appartenant à
l'intervalle [-1 ; 0] solution de l'équation f (x) = 2 :
A l'aide d'une calculatrice on en déduit que
-0,53 <
a
<
-0,52.
En effet, f (-0,53) »
1,972 et f (-0,52) »
2,002
PARTIE C
1.
F (x) = (-x2 - 6x - 9) e-x2. g (x) = x + 3 - f (x).
Une primitive G de la fonction g sur est définie par :
3.
unités d'aire
A = 13,5 cm2.
III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
Un problème très classique où l'autocontrôle était toujours possible.
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