Annales gratuites Bac STI Génie Matériaux : Fonction exponentielle

(11 points)

Soit la fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels R par :

f(x) = e^—x + 2x — 3

Soit (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal  d'unités graphiques 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

1. Limites aux bornes

a) Déterminer la limite de la fonction f en +¥.

b) Déterminer la limite de la fonction f en —¥.

On pourra établir au préalable que pour tout nombre réel x, f(x) = e^—x (1 + 2xe^x — 3e^x).

2. Asymptote oblique

a) Montrer que la droite (D) d'équation y = 2x — 3 est asymptote à la courbe (C).

b) Étudier la position relative de la droite (D) par rapport à la courbe (C).

3. Étude des variations de la fonction f

a) Montrer que, pour tout nombre réel x,   où f ' est la dérivée de la fonction f.

b) Résoudre dans R l'équation d'inconnue x : f '(x) = 0.

c) Étudier le signe de la dérivée f ' de la fonction f sur R.

d) Établir le tableau de variation de la fonction f.

e) Calculer f(1) et déterminer le signe de f(x) pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1].

4. Tracer la droite (D) et la courbe (C) dans le repère .

5. Calculer l'aire A en cm² de la partie du plan délimitée par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1. On donnera la valeur exacte de A, puis la valeur arrondie à 10^-2.

6. Contrôler l'ordre de grandeur du résultat de la question précédente en calculant l'aire en cm² de la surface d'un ou deux trapèzes que l'on précisera.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Étude d'une fonction exponentielle suivie d'un calcul d'aire.
Pour le calcul d'aire il faut penser au signe de f(x).

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Fonction exponentielle
● Limites
● Asymptote oblique
● Calcul d'Aire

III - LES RESULTATS

1.
a)

b)

2.
a)

b) D est située au-dessous de C.

3.
a)

b) f'(x) = 0 ssi x = —ln2

c) f'(x) ³ 0 ssi x ³ —ln2
    f'(x) £ 0 ssi x £ —ln2

e) f(1) = e^—1 — 1
   f(x) < 0 sur [0 ; 1]

4. Voir graphique.

5. A = 2 (e^—1 + 1) cm²
    A = 2,74 cm²

6. Aire du trapèze 3 cm².

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

La fonction f est définie sur R par :
f(x) = e^—x + 2x — 3

1. Limites aux bornes
a)

D'où .

b) f(x) = e^—x (1 + 2xe^x — 3e^x)

Donc .
D'où .

2. Asymptote oblique
a) f(x) — (2x — 3) = e^—x

Comme

alors la droite D d'équation y = 2x — 3 est asymptote à la courbe C.

b) f(x) — (2x — 3) > 0 car e^—x > 0
alors la droite D est située au-dessous de la courbe C.

3. Etude des variations de f.
a) f'(x) = —e^—x + 2

d'où

b) f'(x) = 0 ssi 2e^x — 1 = 0
f'(x) = 0 ssi 2e^x = 1

f'(x) = 0 ssi

f'(x) = 0 ssi

f'(x) = 0 ssi x = —In2

c) f'(x) est du signe de 2e^x — 1 car e^x > 0 pour tout réel x.

f'(x) ³ 0 ssi 2e^x — 1 ³ 0

f'(x) ³ 0 ssi

f'(x) ³ 0 ssi

f'(x) ³ 0 ssi x ³ —In2
d'où f'(x) £ 0 ssi x £ —In2

d) Il en résulte le tableau de variation suivant :

e) f(1) = e^—1 — 1
Comme la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et que f(1) < 0 alors
f(x) < 0 pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1].

5.

A = —(—e^—1 + 1 — 3) + (—1)

A = e^—1 + 2 — 1
A = e^—1 + 1 unités d'aire.
A = 2(e^—1 + 1) cm²
soit A = 2,74 cm² à 10^—2 près.

6. Aire du trapèze OABC
OA = 2 cm
AB = 1 cm
OC = 2 cm