Annales gratuites Bac ES : Fonction exponentielle

(7 points)

Commun à tous les candidats.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle  par :

Partie A
1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle , on note f' sa fonction dérivée.
Calculer f'(x) pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle .
2. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle .
3. Déterminer .

4.
a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle .
b. On admet qu'il existe un unique nombre réel positif α tel que f(α)=0.
Donner le signe de la fonction f sur l'intervalle .

5.
a. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant (donner les valeurs décimales arrondies au dix-millième) :

b. En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre α tel que f(α) =0.

Partie B
1. Soit g la fonction définie sur l'intervalle  par
a. La fonction g est dérivable sur l'intervalle . On note g' sa fonction dérivée.
Calculer g'(x) pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle .
b. Etudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle  en utilisant les résultats de la Partie A.

2. Calculer l'intégrale .

(Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).

I - L'ANALYSE DU SUJET

Etude d'une fonction qui est la somme d'une fonction exponentielle et d'une fonction logarithme.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Fonction exponentielle
● Fonction logarithme népérien
● Sens de variation d'une fonction
● Solution approchée d'une équation
● Calcul intégral

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

L'étude du signe de g nécessitait le recours à l'étude d'une fonction auxiliaire f.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Utiliser un tableau de variation pour déterminer le signe d'une fonction
● Bien savoir lier dérivée et intégrale.

V - LES RESULTATS

Partie A

1.

2. Comme f '(x) alors f est strictement croissante.

3.

4.
a.

b.

5.
a.

b.

Partie B

1.
a.

b.
g est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; α [
g est strictement croissante sur l'intervalle [α ; +∞ [

2.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

f est définie sur l'intervalle [0 ; [ par  

Partie A

1. On sait que (e ^u) ' = u ' e^u
En posant u (x) = x — 3
On a u ' (x) = 1
Donc (e^x—3) ' = e^x—3

On sait que

En posant u(x) = x + 4
On a u ' (x) = 1
Donc

On en déduit

2. Sur l'intervalle [0 ; [, e^x-3 > 0 et

On a donc f ' (x) > 0 pour tout réel x de l'intervalle [0 ; [.
On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +∞ [.

3.

On en déduit que :

4.

a. Il en résulte le tableau de variation de la fonction f suivant :

b. Comme f(α) = 0 et que f est strictement croissante, on en déduit le signe de f sur l'intervalle [0 ; +∞[.

f(x) ≤ 0 pour 0 ≤ x ≤ α et f(x) ≥ 0 pour x ≥ α

5.
a.

b. Comme f(1,325) < 0 et que f(1,33) > 0, alors la valeur décimale arrondie au centième du nombre α est 1,33.

Partie B

1. La fonction g est définie sur l'intervalle par g(x) = e^x—3 — ln (x + 4)

a. On sait que

En posant u(x) = x + 4
u ' (x) = 1

Donc

On en déduit que

b. Comme g ' (x) = f(x), on a alors :
g ' (x) ≤ 0 pour 0 ≤ x ≤ α
g ' (x) ≥ 0 pour x ≥ α

On en déduit que la fonction g est décroissante sur l'intervalle [0 ; α [ et croissante sur l'intervalle [α ; +∞ [.

2.

Une primitive de f est g car g '(x) = f(x).

On a alors :

I = 0,39 au centième près.