Annales gratuites Bac STI Génie Civil : Fonction logarithme

(11 points)

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + ¥[ par  On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O ;,) d'unités graphiques 4 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Partie A

L'objet de cette première partie est l'étude des limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

1. Déterminer la limite de f en +¥.

2.
a) Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif x,

.

On rappelle que

En déduire la limite de f en 0.

b) Montrer que la courbe C admet une asymptote D dont on donnera une équation.

Partie B - Etude d'une fonction intermédiaire.

Soit g la fonction définie sur  l'intervalle ]0 ; + ¥[ par.
1.

a) On désigne par g' la dérivée de la fonction g.
Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif x,

.

b) Etudier le signe de g'(x).En déduire que la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; + ¥[. L'étude des limites n'est pas demandée.

2.

a) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique a dans l'intervalle ].
b) Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de a.

3. Déduire des questions B1. et B2. le signe de g(x) , pour x appartenant à l'intervalle ]0 ; + ¥[.

Partie C - Etude des variations de la fonction f et construction de la courbe associée.

1.
a) f' désignant la dérivée de f, calculer f'(x) et montrer que f'(x) = e^xg(x), pour tout nombre x appartenant à l'intervalle ]0 ; + ¥[.
b) En déduire le signe de f'(x) sur l'intervalle ]0 ; + ¥[.

2.
a) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
b) Calculer une valeur approchée à 10^-1 près de f(a), en prenant 0,6 pour valeur approchée de a.

3.
a) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.

b) Construire l'asymptote D et la courbe C pour x appartenant à l'intervalle ]0 ; 2,5].

Partie D - Calcul d'aire.

1. Montrer que la fonction F, définie sur l'intervalle ] 0 ; + ¥[ par F(x) = e^xInx est une primitive de f.

2. On désire calculer l'aire de la partie E du plan comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 1 et x = 2.
a) Hachurer la partie E sur le dessin.
b) Déterminer la valeur exacte de l'aire de E en unités d'aires, puis en cm².

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

C'est un sujet assez complet sur l'étude des fonctions car il inclut la fonction logarithme et la fonction exponentielle.
Dans la dernière partie on doit effectuer un calcul d'aire.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Limites ;
● Fonction exponentielle ;
● Fonction logarithme ;
● Solution approchée d'une équation ;
● Primitive ;
● Calcul d'aire.

III - LES RESULTATS

PARTIE A :

1.

2.

PARTIE B :

1.

a)

b) g'(x) > 0. g est strictement croissante.

2. 0,59 < a < 0,60

3. g(x) ≤ 0 ssi 0 < x ≤ a
    g(x) ≥ 0 ssi x ≥ a

PARTIE C :

1.
a).f '(x) = e^xg(x)
b) f '(x) ≤ 0 ssi 0 < x ≤ a
    f '(x) ≥ 0 ssi x ≥ a

2.
b) f(α) = 2,1 à 10^—1 près.

3.
a)

PARTIE D :

1. F '(x) = f(x)

2. A = e²ln2 unités d'aire
    A = 4e²ln2 cm²

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

PARTIE A :

1.

On en déduit que

D'où

2.

a)

D'où après factorisation de  on obtient .

 car  et . D'où .

b) Comme  alors la courbe C admet une asymptote D d'équation x = 0.

PARTIE B :

Étude d'une fonction intermédiaire.

g est définie sur l'intervalle ]0 ; +¥[ par .

1.

a)

 puis après réduction au même dénominateur on obtient :

b) g'(x) est du signe de x² — 2x + 2 car sur l'intervalle ]0 ; +¥[ x³ > 0.
Calculons les racines du trinôme x² — 2x + 2
D = 4 — 8 = —4
Comme D < 0 alors le trinôme est du signe du coefficient de x², donc strictement positif.
Comme g'(x) > 0 sur l'intervalle ]0 ; +¥[ alors la fonction g est strictement croissante sur cet intervalle.

2.
a) Comme la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle [ ; 1] et que g() et g(1) sont de signes contraires alors l'équation g(x) = 0 admet une solution unique a dans l'intervalle [ ; 1]. En effet  et g(1) = 1.

b) A l'aide d'une calculatrice programmable, on obtient
0,59 < a < 0,60.

3. Comme la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +¥[ et que g(a) = 0 alors g(x) ≤ 0 ssi 0< x ≤ a      et      g(x) ≥ 0 ssi x ≥ a.

PARTIE C :

1.

a)

d'où

b) Comme e^x > 0 pour tout x de ]0 ; +¥ [ alors f '(x) est du signe de g(x).
Donc f '(x) ≤ 0 ssi 0 < x ≤ a
et f '(x) ≥ 0 ssi x ≥ a.

2.
a) On en déduit le tableau de variation de f :

b) Pour a = 0,6 on obtient f(a) = 2,1 à 10^—1 près.

3.
a)

b) Voir graphique.

PARTIE D :

Calcul d'aire
F(x) = e^xlnx

1. Pour montrer que F est une primitive de f il suffit de montrer que F ' = f.

 d'où F '(x) = f(x).

Donc F est bien une primitive de f.

2.
a) Voir graphique.

b)

A = F(2) — F(1)
A = e²ln2 — e¹ln1
A = e²ln2 unités d'aire
A = 4e²ln2 cm².