Annales gratuites Bac STI Génie Matériaux : Fonction logarithme

(10 points)

Partie A

1.
a. Résoudre dans l'ensemble  des nombres réels l'équation : 2X² — 5X + 2 = 0.
b. En déduire les solutions, sur l'intervalle , de l'équation 2(ln x)² — 5lnx + 2 = 0
On pourra poser X = ln x.

Partie B

Soit la fonction f définie sur l'intervalle  par f(x) = 2(ln x)² — 5ln x + 2.
Soit C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni du repère orthonormal  d'unité graphique 1 cm.

1. Limites aux bornes
a. Etudier la limite de f en 0. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
b. Déterminer la limite de f en + ∞ (on pourra factoriser par ln x).

2. Variations
a. On note  la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle .
Vérifier que, pour tout nombre réel x de l'intervalle , .

b. Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle .
c. En déduire le signe de f(x) sur l'intervalle . On pourra remarquer que la fonction f s'annule en  et en e².

3. Donner une équation de la tangente T et la courbe C au point d'abscisse.

4. Tracer la courbe C et la tangente T dans le repère orthogonal (O ;,).

5. Calcul d'une aire
a. Hachurer le domaine A du plan situé en dessous de l'axe (Ox) et compris entre la courbe C et l'axe (Ox).
b. Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle  par F(x) = x(2(ln x)² — 9ln x + 11) est une primitive de la fonction f sur l'intervalle .
c. Calculer en cm² l'aire du domaine A. En donner l'arrondi à 10^-².

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Etude d'une fonction logarithme : attention au calcul de la dérivée de (ln x)². Vous devez utiliser la formule  avec U(x) = ln x.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Dérivée d'une fonction logarithme
● Trinôme du second degré
● Equation de la tangente
● Calcul d'aire

III - LES RESULTATS

Partie A

1.
a.  ou

b.  ou

Partie B

1.

a.

b.

2.

a.

b. f est strictement décroissante sur l'intervalle ] 0 ; e^5/4]
f est strictement croissante sur l'intervalle [e^5/4 ; + ¥ [.

c. f(x) ≤ 0 sur l'intervalle

f(x) ≥ 0 sur l'intervalle

f(x) ≤ 0 sur l'intervalle .

3. Equation de la tangente T : .

4. Voir graphique

5.
a. Voir graphique
b. F est bien une primitive de f.

c.  cm²

A = 4,15 cm²

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A

1.
a. Résoudre dans
2 x² — 5x + 2 = 0
D = (-5)² — 4 ×2 ×2
D = 25 — 16
D = 9

Comme D > 0 alors l'équation admet deux solutions :

 ou

b.
2(ln x)² - 5 lnx — 2 = 0
Posons X = ln x.
On a alors 2X² — 5X — 2 =0 dont les solutions sont  ou X = 2.

On en déduit  ou ln x = 2

D'où  ou x = e²

d'où

Partie B
f (x) = 2 (ln x)² — 5 ln x + 2.

1.
a.

D'où

On en déduit que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe.

b.

Donc

D'où

2.
a. (ln x)² est de la forme U² avec U (x)= ln x

Comme  alors

On a donc :

D'où

b.
 est du signe de 4 ln x — 5 car x > 0. Donc :

 si et seulement si
 si et seulement si
 si et seulement si

Et  si et seulement si

Donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle et f est strictement croissante sur l'intervalle .

On en déduit que :

3.
L'équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse  est :

Avec  et

4. Voir graphique

5.
a. Voir graphique
b.
F(x) = x(2(ln x)² — 9 ln x + 11)

Pour montrer que F est une primitive de f, il suffit de montrer que F' = f.
F est de la forme UV avec :
U(x) = x donc U'(x) = 1
et V(x) = 2 (ln x)² — 9 ln x + 11

Comme (UV)' = U'V + V'U alors

Soit F'(x) = f(x).

Donc F est bien une primitive de f sur l'intervalle] 0 ; + ¥ [

c.

]

 cm²

A = 4,15 cm² à 10^—2 près par défaut