Annales gratuites Bac STI Génie Civil : Fonction logarithme et aire.

(11 points)

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]—1 ; +∞[ par : .
On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal  d'unités graphiques 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.

Partie A

1. Calculer la limite de f en +∞.

2.
a. En remarquant que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]—1 ; +∞[
,
calculer la limite de f en —1 (on pourra utiliser sans démonstration).

b. En déduire une équation d'une droite D asymptote à C.

3. Déterminer la dérivée f ' de f et montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]—1 ; +∞[, .

4.
a. Etudier le signe de f '(x) sur l'intervalle]—1 ; +∞[.
b. Calculer la valeur exacte de f (1).
c. Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle ]—1 ; ∞[

Partie B

1. Déterminer une équation  de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.

2.
a. Justifier que l'équation f(x) = 0 a une seule solution a dans l'intervalle [1 ; 5].
Démontrer que.

b. Donner une valeur approchée de a à 10^-2 près.

3. Déterminer le signe de f sur l'intervalle [0 ; a].

4. Tracer, dans le repère, la tangente T, la droite D puis la courbe C.

Partie C

1. Démontrer que, sur l'intervalle]—1 ; +∞[, la fonction F définie par F(x) = (—3—x)ln(1+x)+3x est une primitive de la fonction f.

2. Soit H la partie du plan délimitée par la courbe C , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = a.
a. Hachurer la partie H sur le dessin.
b. Calculer, en unités d'aire et en fonction de a, l'aire A(a) de la partie H et démonter que cm²

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Etude d'une fonction logarithme népérien classique.
La difficulté du sujet réside dans les parties B et C quand il s'agit de déterminer l'égalité vérifiée par une solution approchée d'une équation du type f(x) = 0.
Egalité qui sera réutilisée dans la partie C pour le calcul d'aire.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Fonction logarithme
● Résolution d'un équation du type f(x) = 0
● Calcul d'aire

III - LES RESULTATS

Partie A

1.

2. a.

b. x = —1

3.

4. a. f '(x) ≥ 0 ssi x ≤ 1 et f '(x) ≤ 0 ssi x ≥ 1

b. f(1)=1—ln2

Partie B

1.

L'équation de T est donc : y = x

2. a.

b. α= 3,92 à 10^-2 par défaut.

3.

4. Voir graphique

Partie C

1.

2. a.  Voir graphique

b.

Or une unité d'aire égale 2cm², on a donc :

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

f est définie sur l'intervalle] -1 ; +∞[ par

.

Partie A

1. Après décomposition il vient :

  car x ≠ 0.

  car  

On a aussi :  et donc

On en déduit

D'où     

2. a.

Posons X=1+x

On a alors

donc

car

b. On en déduit que la droite D d'équation x=—1 est asymptote à C.

3.  est donc de la forme

avec      u(x)=2x        u'(x)=2
            v(x)=1+x      v'(x)=1

comme  

alors  

soit    .

ln(1+x) est de la forme ln(u)
avec u(x) = 1+x
        u '(x ) = 1

Comme
alors

On sait que la dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées.
On en déduit :

Après une réduction au même dénominateur, il vient:

D'où

4. a.

Comme (1+x)² > 0  sur l'intervalle ] —1 ; +∞[ alors f '(x) est du signe de 1—x.

On a donc :
f '(x) ≥ 0 si et seulement si 1—x ≥ 0

f '(x) ≥ 0 ssi x ≤ 1

et     f '(x) ≤ 0 ssi x ≥ 1

b. f (1)=1—ln2

c. Il en résulte le tableau de variation de f .

[Ici, bientôt une représentation graphique]

Partie B

1. L'équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 est :
y—f(0) = f ' (0)(x—0)
avec f(0) = 0 et f ' (0) = 1.

L'équation de T est donc : y=x

2. a. Comme la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [ 1 ; 5 ] et que f(1) et f(5) sont de signes contraires, alors l'équation f(x)=0 admet une seule solution α appartenant à l'intervalle [ 1 ; 5 ].

En effet, f(1) ≈ 0,31 et f(5) ≈ —0,13
Comme f(α) = 0 alors

D'où,

b. A l'aide d'une calculatrice et par itérations on obtient :
f(3,92) > 0 et f(3,93) ‹ 0.

On en déduit α = 3,92 à 10^-2 par défaut.

3.

4. Voir graphique

Partie C

1. F(x) = (—3 — x) ln(1 + x) + 3x
Pour montrer que F est une primitive de f il suffit de montrer que F' = f

(—3—x) ln(1+x) est de la forme uv

avec    u(x) = —3 — x        u'(x) = —1

          v(x)=ln(1+x)          v'(x)=

comme (uv)' = u'v + v'u
alors 

On a donc :

Soit F ' (x) = f(x)
Donc F est bien une primitve de f.

2. a. Voir graphique

b.

Or on a établi au 2.a. que

On a donc :

comme l'unité d'aire est 1×2 soit 2cm² ou alors