Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Fonction logarithme et calcul d'aire

(10 points)

Le plan P est muni d'un repère orthonormal  d'unité graphique 2 cm.

On s'intéresse dans ce problème à une fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +¥[.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan P.
On note ln la fonction logarithme népérien.

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +¥[ par g(x) = x² — 1 + lnx.
On désigne par g' la fonction dérivée de la fonction g.

1. Calculer g'(x) pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; +¥[.
En déduire le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; +¥[.

2. Calculer g(1) et en déduire l'étude du signe de g(x) pour x appartenant à l'intervalle ]0 ; +¥[.

Partie B : Détermination de l'expression de la fonction f

On admet qu'il existe deux constantes réelles a et b telles que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; +¥[,.

1. On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.
Calculer f'(x) pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; +¥[.

2. Sachant que la courbe C passe par le point de coordonnées (1 ; 0) et qu'elle admet en ce point une tangente horizontale, déterminer les nombres a et b.

Partie C : Étude de la fonction f

On admet désormais que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle
]0 ; +¥[,.

1.
a) Déterminer la limite de la fonction f en 0 et donner une interprétation graphique de cette limite.
b) Déterminer la limite de la fonction f en +¥.

2.
a) Vérifier que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; +¥[, .

b) Établir le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +¥[.
c) En déduire le signe de f(x) pour x appartenant à l'intervalle ]0 ; +¥[.

3. On considère la droite D d'équation y = x — 1
a) Justifier que la droite D est asymptote à la courbe C.
b) Étudier les positions relatives de la courbe C et de la droite D.

c) Tracer la droite D et la courbe C dans le plan P muni du repère .

Partie D : Calcul d'aire

On note A la mesure, exprimée en cm², de l'aire de la partie du plan P comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x = 1 et x = e.

1. On considère la fonction H définie sur l'intervalle ]0 ; +¥[ par H = (lnx)².
On désigne par H' la fonction dérivée de la fonction H.
a) Calculer H'(x) pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; +¥[.
b) En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +¥[.

2.
a) Calculer A.
b) Donner la valeur de A arrondie au mm².

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Le sujet est classique. Une vérification des résultats est toujours possible. Il faut penser à l'unité graphique pour le calcul d'aire.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Étude de fonction logarithme.
● Asymptote verticale et oblique.
● Primitive.
● Calcul d'aire.

III - LES RESULTATS

Partie A :

1.

La fonction g est strictement croissante sur ]0 ; +¥[.

2. g(1) = 0
g(x) £ 0 ssi 0 < x £ 1
g(x) ³ 0 ssi x ³ 1

Partie B :

1.

2. a = 1 et b = —1

Partie C :

1.
a)

La droite d'équation x = 0 est une asymptote verticale à la courbe.
b)

2.
a)

b) Tableau de variation :

c) f(x) ³ 0 pour tout réel x de ]0 ; +¥[.

3.)
a)

b) C est au-dessus de D sur ]0;+1]
    C est au-dessous de D sur [1 ; +¥[
c) Voir graphique ci-dessous.

Partie D :

1.
a)

b)

2.
a) A = 2e² — 4e cm²
b) A = 390 mm²

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A: Étude d'une fonction auxiliaire
La fonction g est définie sur l'intervalle ]0 ; +¥[ par g(x) = x²— 1 + lnx

1.

g'(x) > 0 pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; +¥[.
On en déduit que la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +¥[.

2. g(1) = 0
On en déduit que g(x) £ 0 ssi 0 < x £ 1 et
g(x) ³ 0 ssi x ³ 1

Partie B : Détermination de l'expression de la fonction f

f est définie sur l'intervalle ]0 ; +¥[ par

1.

2. Comme la courbe C passe par le point de coordonnées (1 ; 0) alors f(1) = 0
soit a + b = 0.
De plus, comme la courbe C admet au point de coordonnées (1 ; 0) une tangente horizontale,
alors f'(1) = 0
soit a — 1 = 0.
On en déduit que a = 1 et que b = —1.

Partie C : Étude de la fonction f

1.
a)

donc

d'où

On en déduit que l'axe des ordonnées (x = 0) est asymptote à la courbe C.

b)

d'où

2.
a)  d'après la question 1. de la partie B.

Comme a = 1

alors

soit

b) f '(x) est du signe de g(x) dont le signe a été établi à la question 2. de la partie A. Il en résulte le tableau de variation suivant :

Comme la fonction f admet un minimum égal à 0 alors f(x) ³ 0 pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; +¥[.

3.
a)

Comme alors la droite d'équation y = x — 1 est asymptote à la courbe C.

b) La position relative de (C) par rapport à D est donnée par le signe de f(x) — (x — 1)

soit de .

f(x) — (x — 1) ³ 0 ssi

f(x) — (x — 1) ³ 0 ssi —lnx ³ 0     car x > 0
f(x) — (x — 1) ³ 0 ssi lnx £ 0
f(x) — (x — 1) ³ 0 ssi 0 < x £1 et
f(x) — (x — 1) ³ 0  ssi x ³1

On en déduit que C est au-dessus de D sur l'intervalle ]0 ; 1] et au-dessous de D sur l'intervalle [1 ; +¥[.

c) Voir graphique ci-dessous.

Partie D: Calcul d'aire

1) H(x) = (lnx)² sur ]0 ; +¥[

a)

b) On en déduit que

2)
a)

     unités d'aire

soit A = 2e² — 4e cm².

b) A = 390 mm².