Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Gain à la fête de l'école

(4 points)

Pour la fête de l'école, une association propose une loterie selon le principe suivant :
● Le joueur mise 10 euros.
● Il fait tourner deux roues identiques chacune s'arrêtant devant un repère. Chaque roue est divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués les gains en euros : 10 ; 0 ; 5 ; 0.
Tous les quartiers ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère.
Le gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues.

Dans l'exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de 15 €.

1. Etude du gain d'un joueur pour une mise de 10 euros.
On nomme G la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros.

a. Reproduire et compléter le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable aléatoire G selon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues :

b. Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à sa mise est 50%.
c. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
d. Calculer la probabilité, notée p (G > 10), qu'un joueur obtienne un gain strictement supérieur à sa mise.
e. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire G, puis donner son interprétation.

2. Etude du bénéfice de l'association pour une mise de m euros.
On suppose dans cette question que la mise du joueur est de m euros.
On note B la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le bénéfice (positif ou négatif) réalisé par l'association, c'est-à-dire la différence entre la mise qu'elle a encaissée et le gain éventuel qu'elle a reversé au joueur.

a. Exprimer en fonction de m l'espérance mathématique de la variable aléatoire B.
b. Déterminer m pour que l'espérance de bénéfice de l'association soit d'au moins 5 €.

I - L'ANALYSE

On met en place un jeu à la fête de l'école.
L'objet du problème est de déterminer la mise nécessaire pour chaque joueur afin que l'association s'assure un bénéfice au moins égal à 5 €.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Probabilités simples
● Variables aléatoires
● Loi de probabilité
● Espérance

III -LES DIFFICULTES DU SUJET

Le sujet comporte certaines ambiguïtés quant à savoir ce que l'on doit effectivement considérer comme un gain.
Si on suit précisément le sujet, il ressort que la donnée de la mise de 10 € dans la première question est inutile.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Loi de probabilité
● Espérance et gain

V - LES RESULTATS

1.
a.
Voir tableau ci-après.

b.

 p = 50 %

c.
Voir tableau ci-après.

d.

e.

 E(G) = 7,5 euros

2.
a.

b.

 m = 12,5 euros

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.
a.

b. On cherche à déterminer la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à 10€.
Dans le tableau ci-dessus, on constate que le nombre de cases pour lesquelles G est supérieur ou égal à 10 (20, 10 ou 15) est 8, alors que le nombre total de cases est de 16.
La probabilité cherchée est donc égale à  soit 50 %.

c. La variable aléatoire G peut prendre les valeurs 0, 5, 10, 15, 20.

Pour établir cette loi de probabilité, il suffit pour chaque valeur prise par G de faire le rapport entre le nombre de cases où apparaît cette valeur et le nombre de cases totales soit 16.
Par exemple pour G = 0, on dénombre 4 cases donc .

d. p(G > 10) = p(G = 15) + p(G = 20) et donc

e.

On peut en conclure que l'espérance de gain d'un joueur est de 7,5 €, ou encore qu'en moyenne, après plusieurs parties, un joueur aura un gain de 7,5 €.

2.
a. Soit B le bénéfice réalisé par l'association. Si le joueur mise m euros et reçoit 10 €, le bénéfice de l'association sera de m — 10.
La variable aléatoire B peut donc prendre les valeurs m ; m — 5 ; m — 10 ; m — 20 et sa loi de probabilité sera :

Et son espérance sera :

b. On souhaite que

Donc on résout

Soit

D'où

La mise doit être au minimum de 12,50 euros.