EXERCICE 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d’un repère orthogonal direct , on considère le point d’affixe 2 et le cercle de centre passant par .

Dans tout l’exercice on note le nombre complexe i et le nombre complexe conjugué du nombre complexe .

1. a) Démontrer que .
   b) Démontrer que les points B et C d’affixes respectives et appartiennent au cercle .

2. Soit un point du cercle d’affixe 2 où est un nombre réel de l’intervalle
   a) Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E en image du point D par la rotation de centre O et d’angle .
   b) Justifier que le point E a pour affixe

3. Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].

a) Justifier que le point F a pour affixe .

b) On admet que le point G a pour affixe .

Démontrer que . On pourra utiliser la question 1)a).

En déduire que le triangle AFG est équilatéral.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
   À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu’il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du côté AF du triangle AFG est minimale.
   On admet que .

On considère la fonction sur l’intervalle par .

Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction sur l’intervalle .

Compléter ce tableau de variation. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.

ANNEXE 2 (Exercice 4)
(à rendre avec la copie)

(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

I- Intérêt du sujet

Exercice de géométrie plane avec utilisation des complexes.
Recherche d’un point minimisant une distance.

II- Savoir et savoir faire

• Quelques calculs algébriques de complexes.

• Ecriture complexe d’une rotation.

• Interprétation géométrique du module et de l’argument.

III- Résultats

1. a)
   b) et

2. a) Construire
   b)

3. a)
   b) donc AFG est un triangle équilatéral

4. est minimale pour . Le point qui minimise la longueur AF est le point d’affixe .

1. a) et donc

b)

donc B et C sont sur le cercle de centre et de rayon 2.

et C.

2. a) Construction

la rotation de centre et d’angle a pour écriture complexe

a pour affixe

On a x

Or

Donc

3. a) F milieu de [BD] donc

D’où

b)

Or d’après 1)a)

Donc

Donc

Interprétons le module et l’argument de cette égalité

et =

Donc AG=AF

et

Donc

Le triangle AFG est donc équilatéral

4)

D’où le tableau suivant :

La longueur est minimale lorsque .

Le point a alors comme affixe

IV- Difficultés

Pas de difficultés techniques majeures.

Seule l’utilisation des lettres et peut être gênante.