Annales gratuites Bac STI Génie Matériaux : Hexagone régulier

(5 points)

1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation d'inconnue z :

z² — 2z + 4 = 0.

On donnera les solutions sous forme algébrique puis, pour chacune d'elles, le module et un argument.

2. Le plan est muni d'un repère orthonormé  d'unité graphique de 2 cm.
On note A, B, et C les points du plan ayant pour affixes respectives

a) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b) Montrer que les triangles OAB et OBC sont équilatéraux.
c) Soient D, E et F les points tels que le polygone ABCDEF soit un hexagone régulier.
Construire les points D, E et F sur la figure commencée dans la question 2. a
(On rappelle qu'un hexagone est un polygone à 6 côtés).
d) Calculer le produit des affixes des 6 sommets de cet hexagone régulier.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

On résoud une équation du second degré. On place les images dans le plan complexe et on complète par symétrie pour obtenir un hexagone régulier.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

— Equation complexe du second degré.
— Module, argument.
— Affixe.

III - LES RESULTATS

1. 1 —  ; 1 + 
2.
a) Graphique.
b) OAB et OBC équilatéraux.
c) Graphique.
d) —64

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Soit l'équation z² — 2z + 4 = 0

 = 4 — 16

 = — 12

 = 12i²

et donc

et .

On a .

D'où .

Soit  un argument de z₁

On a

d'où

et donc  et

b) On a OA = 

OB =  et AB = .

D'où OA = OB = AB.

Le triangle OAB est équilatéral.

De même

et

D'où OC = OB = BC

Le triangle OBC est équilatéral.

c) Voir graphique.

d) On a
z_A = 1 — i

z_B = 2

z_C = 1 + i.

Et par symétrie on obtient :

z_D = —1 + i

z_E = —2

z_F = —1 — i.

Et donc z_A.z_B.z_C.z_D.z_E.z_F = 

z_A.z_B.z_C.z_D.z_E.z_F = —4 (1 + 3) (1 + 3)

z_A.z_B.z_C.z_D.z_E.z_F = —444 = —64