Dans cet exercice, on s’intéresse au nombre de personnes, enfants et adultes, vivant avec le VIH/SIDA (Virus de l’Immunodéficience Humaine/Syndrome Immuno-Déficitaire Acquis) au Sénégal.

Partie A : étude d’un premier modèle

Le tableau ci-dessous présente les données de 1996 à 2006 :

(Source : UNAIDS (Joint United Nations program on HIV/AIDS)

Le nuage de points de coordonnées pour variant de à , est donné en annexe 2 à rendre avec la copie.

1. A l’aide de la calculatrice déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d’ajustement de en (arrondir les coefficients au millième).

2. On décide d’ajuster le nuage avec la droite d’équation .

1. Tracer la droite sur le graphique figurant sur l’annexe 2.

2. En utilisant cet ajustement affine, estimer le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal en 2007.

Partie B : étude d’un deuxième modèle

Le taux d’évolution annuel moyen du nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal entre les années 1996 et 2006 est d’environ 20%.

On décide alors de modéliser la situation à l’aide d’une suite géométrique de raison .

Pour tout entier naturel , désigne une estimation du nombre de personnes, en milliers, vivant avec le VIH au Sénégal pendant l’année .

Ainsi est la suite géométrique de premier terme et de raison .

1. Exprimer en fonction de .

2. Déterminer, d’après ce modèle, le nombre prévisible de personnes atteintes en 2007.

Partie C : exploitation des modèles

Des experts ont estimés qu’en 2007 il y avait 67 000 personnes vivant avec le VIH au Sénégal.

1. Lequel des deux modèles étudiés dans les parties A et B donne la meilleure prévision pour 2007 ?

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

En choisissant le modèle qui vous paraît le mieux adapté, déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal dépassera 100 milliers.

Annexe 2, à rendre avec la copie

I/ INTERET DU SUJET

Comparaison de deux modèles d’estimation.

II/ SAVOIR ET SAVOIR FAIRE

Partie A : savoir se servir de la calculatrice.

Partie B : connaître la formule explicite d’une suite géométrique.

Partie C : passer au ln pour résoudre une inéquation.

III/ RESULTATS

Partie A

a) voir tracé

b) 56,7 milliers

Partie B

1)

2)

Partie C

1. Le modèle B.

2. En 2010, pour la première fois, le nombre de personnes vivant avec le VIH dépassera 100 milliers.

IV/ DEVELOPPEMENT

Partie A : Etude d’un premier modèle

1. A l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés est :

2) a) La droite D passe par les points :

x	0	10
y	3,9	51,9

b) En 2007, le rang de l’année est 11. On a : y = 4,8 X 11 + 3,9 = 56,7

En 2007, on peut estimer à 56,7 milliers le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal.

Partie B : Etude d’un deuxième modèle

1)

2) On remplace n par 11.

Avec ce modèle, on peut estimer qu’en 2007, le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal sera de 66,9 milliers.

Partie C : Exploitation des modèles

1. Le deuxième modèle donne la meilleure prévision.

2. On va résoudre l’inéquation :

car ln est croissante sur

car ln(1,2) > 0

C'est-à-dire que la population vivant avec le VIH au Sénégal dépassera 100 milliers, pour le rang 14 de l’année ce qui veut dire en 2010.

V/ DIFFICULTES

Exercice très facile. La seule difficulté réside dans la résolution de l’inéquation à l’aide de ln.

Annexe2