Annales gratuites Bac S : Intégration par parties

(3 points)

1. Restitution organisée de connaissances

Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b].

2. Soient les deux intégrales définies par .

a) Démontrer que I = —J et que I = J + e^π + 1.

b) En déduire les valeurs exactes de I et de J.

I - L'ANALYSE DU SUJET

Une restitution organisée de connaissances portant sur le programme d'analyse, et plus particulièrement sur les liens entre dérivation et intégration, en utilisant aussi la notion de continuité.
Dans un second temps, on applique les notions de cours évoquées dans la première partie.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

Dérivation d'un produit de fonctions. Définition et propriétés de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle : existence de primitives ; linéarité.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

1. Bien penser à préciser les conditions nécessaires à la dérivabilité d'un produit de fonctions, à la continuité, à l'existence de primitives. Rappeler la propriété de linéarité de l'intégrale.

2. Envisager les différents choix possibles pour intégrer par parties.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Notions élémentaires de trigonométrie. Connaître et appliquer la formule d'intégration par parties. Savoir démontrer cette formule. Système d'équations linéaires.

V - LES RESULTATS

1. Si u, v, u' et v' sont continues sur [a ; b], alors :

2.
a) I = —J et I = J + e^π + 1

b)

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. R.O.C. : Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] et dont les dérivées sont continues sur [a, b]. Alors la fonction uv est dérivable sur [a ; b], et pour tout x de [a ; b] :
(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Or les fonctions u, v, u', v' sont continues sur [a ; b], donc le produit uv l'est aussi. On peut alors intégrer l'égalité ci-dessous entre a et b :

En utilisant les propriétés de linéarité de l'intégrale, on en déduit que :

D'où la formule d'intégration par parties :

2.

a) Posons : u'(x) = e^x  et v(x) = sin x ;
alors on peut choisir : u(x) = e^x, et v'(x) = cos x.
Les fonctions u, v, u'et v' sont continues sur R, donc sur [0 ; π]. On peut alors appliquer la formule d'intégration par parties :

Soit : I = 0 — J,
ou encore : I = — J
De la même manière, en posant : u(x) = e^x et v'(x) = sin x,
on peut choisir : v(x) = — cos x, et u'(x) = e^x.
Les fonctions u, v, u' et v' sont continues sur [0 ; π]
donc en intégrant par parties :

ou encore : I = J + e^x + 1

b) D'après les résultats du (2,a) :

En additionnant membre à membre ces deux égalités, il vient :

2I = e^π + 1