Annales gratuites Bac STG Compta finance : Intérêts composés

(5 points)

Le 1^er janvier suivant la date de sa naissance, les grands parents de Katia lui ouvrent un livret d'épargne et déposent un capital de 100 euros. Ils déposent ensuite 100 € sur ce livret tous les 1^er janvier suivants.
Ce placement est à intérêts composés au taux annuel de 3 % fixe pour toute la durée du livret d'épargne.
Les intérêts sont versés tous les 1^er janvier.

On pose c₀ = 100_.
Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1.
On note c_n le capital, exprimé en euros, se trouvant sur le livret le 1^er janvier au terme d'un nombre n d'années de placement. On définit ainsi une suite c telle que c₀ = 100 et c₁ = 203.

1.
a) Justifier que c₂ = 309,09 et que c₃ ≈ 418,36.
b) La suite c peut-elle être arithmétique ? Peut-elle être géométrique ? Justifier chaque réponse.

2. Le tableau ci-dessous est un extrait d'une feuille de calcul obtenue à l'aide d'un tableur.
Il donne notamment  les premiers termes de la suite c.
Le format d'affichage est un format numérique à deux décimales.

Donner des formules qui, entrées dans les cellule B3 et C3, permettent par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B3 : C20.

3. On admet que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1, c_n = 100 (1 + 1,03 + 1,03² + ... + 1,03ⁿ ).
Montrer que le capital total se trouvant sur le livret de Katia le soir du 1^er janvier suivant son seizième anniversaire sera égal à 2 176,16 euros.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

On étudie l'évolution d'un capital placé à intérêts composés et avec augmentation constante (suite arithmético-géométrique !)

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Tableur.
● Suite géométrique.

III - LES RESULTATS

1.
a) c₂ = 309,09 et c₃ = 418,36 à 10^—2 près.
b) c n'est ni arithmétique, ni géométrique.

2. Pour B3 : = B2 * 1,03 + 100
Pour C3 : = B3 * 0,03

3. c₁₆ = 2176,16 euros

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.
a) On a c₀ = 100 et c₁ = 203
d'où c₂ = (1,03) x 203 + 100
c₂ = 309,09 (en euros)
et c₃ = (309,09) x 1,03 + 100
c₃  = 418,36 à 10^—2 près (en euros)
b) La suite c n'est pas géométrique car on ajoute 100 € chaque année et elle n'est pas arithmétique car chaque année le capital est multiplié par 1,03.

2.
    = B2 * 1,03 + 100 pour B3
Et = B3 * 0,03 pour C3.

3. Si c_n = 100(1 + 1,03 + ... + 1,03ⁿ)
le capital total acquis le soir du 1^er janvier suivant son anniversaire sera c₁₆ = 100(1 + 1,03 + ... + 1,03¹⁶)

or

                                   = 21,7616 à 10^—4 près

et donc c₁₆ = 2176,16 euros à 10^—2 près.