Annales gratuites Bac ES : Interprétation graphique

(5 points)
(Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [—2 ; 5], décroissante sur chacun des intervalles [—2 ; 0] et [2 ; 5] et croissante sur l'intervalle [0 ; 2].
On note f ' sa fonction dérivée sur l'intervalle [—2 ; 5].

La courbe (Г) représentative de la fonction f est tracée en annexe 1 dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points A (—2 ; 9), B  (0 ; 4), C (1 ; 4,5), D (2 ; 5) et E (4 ; 0).
En chacun des points B et D, la tangente à la courbe (Г) est parallèle à l'axe des abscisses.
On note F le point de coordonnées (3 ; 6). La droite (CF) est la tangente à la courbe (Г) au point C.

1. A l'aide des informations précédentes et de l'annexe 1, préciser sans justifier :
      a. les valeurs de f (0), f '(1) et f '(2),
      b. le signe de f '(x) suivant les valeurs du nombre réel x de l'intervalle [—2 ; 5],
      c. le signe de f (x) suivant les valeurs du nombre réel x de l'intervalle [—2 ; 5].

2. On considère la fonction g définie par g (x) = ln (f (x)) où ln désigne la fonction logarithme népérien.
      a. Expliquer pourquoi la fonction g est définie sur l'intervalle [—2 ; 4[.
      b. Calculer g(—2), g(0) et g(2).
      c. Préciser, en le justifiant, le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle [—2 ; 4[.
      d. Déterminer la limite de la fonction g lorsque x tend vers 4.
          Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonction g.
      e. Dresser le tableau de variation de la fonction g.

I - L'ANALYSE DU SUJET

Interprétation graphique d'une courbe donnée.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Signe d'une fonction
● Dérivée et sens de variation
● Limite
● Fonction logarithme

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Savoir étudier la composition d'une fonction logarithme népérien

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Nombre dérivé et pente de la tangente
● Dérivée d'une fonction du type ln u

V - LES RESULTATS

1.
a.
f(0) = 4
f '(1) = 1
f '(2) = 0

b.

f '(x) ≥ 0 ssi x Є [0 ; 2]

c.
Si x Є [—2 ; 4] alors f(x) ≥ 0
Si x Є [4 ; 5] alors f(x) ≤ 0

2.
a.
On a f(x) > 0 sur [—2 ; 4[

b.
g(—2) = 2ln3
g(0) = 2ln2
g(2) = ln5

c.

d.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.
a.
● Le point B (0 ; 4) est sur (Γ) donc f(0) = 4
● La droite (CF) est tangente à (Γ) en C.
Le coefficient directeur de la droite (CF) est égal à :

● Au point D la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses donc f '(2) = 0

b.
Sur le graphique, on constate que :
si x Є [—2 ; 0] alors f est décroissante
si x Є [0 ; 2] alors f est croissante
si x Є [2 ; 5] alors f est décroissante
D'où le tableau de signe de f '(x) :

c.
Sur le graphique, on constate que f(x) ≥ 0 ssi x Є [—2 ; 4] et f(x) ≤ 0 ssi x Є [4 ; 5]
D'où le tableau de signe de f(x) :

2.
On a g(x) = ln(f(x))

a.
D'après la question 1.c. on a f(x) > 0 si x Є [—2 ; 4] donc la fonction g est définie sur l'intervalle [—2 ; 4[

b.
g(—2) = ln(f(—2)) = ln9 = ln3² = 2ln3
g(0) = ln(f(0)) = ln4 = ln2² = 2ln2
g(2) = ln(f(2)) = ln5

c.

Or, sur l'intervalle [—2 ; 4[ on a f(x) > 0 donc g'(x) est du signe de f '(x).
Donc d'après la question 1.b. on a :

D'où les variations de g sur l'intervalle [—2; 4[

d.
Lorsque x tend vers 4 alors f tend vers 0.

On peut donc en déduire que la droite d'équation x = 4 est une asymptote verticale à la courbe représentative de g.

e.
D'où le tableau de variations :