Annales gratuites Bac S : Intersection de plans

(3 points)

L'espace est muni du repère orthonormal .
Soient (P) et (P') les plans d'équations respectives x + 2y — z + 1 = 0 et -x + y + z = 0.
Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1).

1. Démontrer que les plans (P) et (P') sont perpendiculaires.

2. Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est :

Démontrer que les plans (P) et (P') se coupent selon la droite (d).

3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P').

4. En déduire la distance du point A à la droite (d).

I - L'ANALYSE DU SUJET

On détermine la distance d'un point à une droite qui est définie comme l'intersection de deux plans perpendiculaires.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Equations cartésiennes de plans dans l'espace.
● Equations paramétriques de droites dans l'espace.
● Calculs de distances d'un point à un plan.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Les trois premières questions sont des applications directes du cours. La question 4. nécessite un dessin et un peu de réflexion.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Savoir la formule de la distance d'un point à un plan.

V - LES RESULTATS

1. (P) et (P') sont perpendiculaires.
2. Une représentation paramétrique de (d) est    

3.          

4.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Soit  vecteur normal de (P)

Soit  vecteur normal de (P')

On a

Donc  et  sont orthogonaux.

Donc (P) et (P') sont perpendiculaires.

2.

Posons z = t, on a :

Donc (P) et (P') se coupent selon la droite (d).

4. Soit H le projeté orthogonal de A sur (P), on a

Soit H' le projeté orthogonal de A sur (P'), on a

Soit K le projeté orthogonal de A sur (d), on a

Le triangle AHP est rectangle en H.

D'après le théorème de Pythagore :
AP² = AH² + HP²
or HP = AH'

Donc

D'où