Annales gratuites Bac STG Compta finance : Machine d'occasion

Une entreprise a acheté une machine en 2000 pour une valeur de 50 000 € et a noté la valeur de cette machine sur le marché de l'occasion jusqu'en 2005.
Les résultats sont notés dans le tableau suivant :

Partie I

Une représentation du nuage de points (x_i ; y_i) est donnée en annexe, page 6, à rendre avec la copie.

1. A l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients à l'unité).
Pour l'étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite Δ d'équation y = −5 440x + 48 400.

2. Tracer la droite Δ sur le graphique de l'annexe, page 6, à rendre avec la copie.

3. En supposant que ce modèle reste valable pour les cinq années à venir, prévoir une estimation de la valeur de cette machine en 2007, puis en 2010.

4. Commenter le dernier résultat.

Partie II

Le service comptable de cette entreprise remarque que pendant les années 2000 à 2005 la machine s'est dépréciée d'environ 15 % par an. Il suppose alors qu'à partir de 2005 la baisse annuelle sera de 15 %. Il pose v₀ = 22 000 et note (v_n) la suite donnant la valeur estimée, selon ce modèle, de la machine au bout de n années de fonctionnement à partir de 2005.
Ainsi, v₁ est la valeur estimée de la machine en 2006.

1.
a) Montrer que la suite (v_n) est géométrique ; déterminer sa raison.

b) Montrer que, pour tout entier naturel n, v_n = 22 000×(0,85)ⁿ.

2. Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calculs. Il donne la valeur estimée v_n de la machine pour les années 2005 à 2011.
Le format de la colonne D est un format numérique à zéro décimale.

Donner une formule qui, entrée dans la cellule D8, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules D8:D13.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Selon ce modèle, à partir de quelle année la machine aura-t-elle une valeur inférieure à 5 000 € ?

(7 points)

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Effectuer un ajustement affine par la méthode des moindres carrés à l'aide d'une calculatrice programmable et savoir reconnaître une suite géométrique.
Dans la question 3 de la partie II, il ne fallait pas oublier que lnx < 0 pour 0 < x < 1 pour résoudre l'inéquation.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Ajustement affine par la méthode des moindres carrés
● Suite géométrique
● Tableur
Il fallait savoir exploiter les ressources d'une calculatrice afin de calculer l'équation d'une droite par la méthode des moindres carrés et utiliser un ajustement affine pour prévoir une estimation, de la valeur d'une machine.

III - LES RESULTATS

Partie I

1. y =  −5 443x + 48 357

2. La droite Δ d'équation y = —5 440x + 48400 passe par les points de coordonnées (0;48 400) et (10;−6 000).

3. −6 000 €.

Partie II

1. a) (V_n) est donc une suite géométrique de 1er terme V₀ = 22 000 et de raison q = 0,85.

   b) Vn = 22 000 × 0,85n

2. = D7×0,85^C7

3. La machine aura une valeur inférieure à 5 000€ à partir de 2015.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie I

1. L'équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés est :
y = −5 443x + 48 357

2. La droite Δ d'équation y = −5 440 x + 48 400 passe par les points de coordonnées (0;48 400) et (10; −6 000).

3. Pour estimer la valeur de la machine en 2007, poser x = 7.
On a donc −5 440 × 7 + 48 400, soient 10 320 €.
Pour une estimation de cette valeur en 2010, poser x = 10.
On a donc −5 440 × 10 + 48 400, soient −6 000 €.

4. Ce résultat négatif traduit que la machine ne sera plus cotée sur le marché de l'occasion en 2010.

Partie II

1. a) Soit V_n la valeur estimée de la machine en 2005 + n
On a V_n+1 = V_n — 0,15V_n
        V_n+1 = 0,85V_n
(V_n) est donc une suite géométrique de 1^er terme V₀ = 22 000 et de raison q = 0,85.

   b) On sait que si (V_n) est une suite géométrique de 1^er terme V₀ et de raison q alors le terme de rang n : 
V_n  est tel que V_n = V₀ qⁿ
On en déduit que Vn = 22 000 × 0,85ⁿ

2. Entrez en D8 la formule suivante :
= D7 × 0,85^C7
Puis la recopier vers le bas.

3. Pour déterminer à partir de quelle année la machine aura une valeur inférieure à 5 000 €, il suffit de résoudre l'inéquation
V_n < 5 000
Soit 22 000 × 0,85ⁿ < 5 000

Comme la fonction ln est strictement croissante
ou alors
Soit

comme ln 0,85 < 0 alors

n > 9,12
Soit n = 10
C'est donc à partir de 2015 que la machine aura une valeur inférieure à 5 000€.