Annales gratuites Bac Général ES spé Maths : Maximisation de production

(5 points)

La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs : le travail de la main d'œuvre et l'utilisation des machines. On désigne :
- Par x la durée journalière de travail de la main d'œuvre, exprimée en heures ; x appartient à l'intervalle ]0 ; 10].
- Par y la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée en heures ; y appartient à l'intervalle ]0 ; 12].
La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation :
avec 0 < x £ 10 et 0 < y £ 12.

La figure ci-dessous représente la surface (S) d'équation : z = f(x,y) pour 0 < x £ 10 et 0 < y £ 12.

Partie 1 : Le point A représenté par une croix est un point de la surface (S).
1. Déterminer graphiquement l'abscisse et la cote de point A. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).
2. Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l'entreprise.

Partie 2 : Pour chaque heure, le coût total du travail s'élève à 4 millier d'euros, et le coût total d'utilisation des machines s'élève à 1 millier d'euros.
L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors 4x + y = 36.
La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; 10], calculer .

1. On note g' la fonction dérivée de g sur l'intervalle ]0 ; 10].
a) Pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; 10], calculer g'(x) et montrer que .

b) Etudier les variations de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; 10].

2.
a) En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d'utilisation des machines permettant d'obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d'euros.
b) Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes.

I - L'ANALYSE DU SUJET

Lecture graphique de coordonnées dans l'espace et optimisation économique avec contrainte.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

Géométrie dans l'espace.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

La seule difficulté réside dans l'interprétation économique de résultats mathématiques.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Savoir lire une représentation d'une surface dans l'espace et interpréter ces résultats pour optimiser une production.

V - LES RESULTATS

Partie 1 :

1.
x_A = 6
z_A = 4
y_A = 1,7

2. 6 heures de main d'œuvre et 1,7 heure d'utilisation de machines donnent 4 tonnes de produit.

Partie 2 :

1.
a)

b) g croissante sur ]0 ; 6] et décroissante sur [6 ; 10].

2.
a) La production maximale pour 6 heures de main d'œuvre et 12 heures d'utilisation de machine.
b) La production maximale sera alors de 12 tonnes.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie 1 :

1.
Abscisse de A : 6
x_A = 6

Côte de A : 4
z_A = 4

On a

d'où

d'où 24 + 4y = 18y

 ≈ 1,7

2.
Avec une durée de travail de la main d'œuvre de 6 heures et une durée d'utilisation des machines de 1,7 heure, l'entreprise produira 4 tonnes.

Partie 2 :

1.

 a)

=

=

=

Développons (x — 6)(x — 18) = x² — 18x — 6x + 108 = x² — 24x + 108
On a donc

b) Pour x Î ]0 ; 10], (x — 12)² > 0
x — 18 < 0
donc g'(x) est du signe de (6 — x)
g sera donc croissante sur ]0 ; 6] et décroissante sur ]6 ; 10].

2.
a) D'après la question précédente, la fonction g sera maximale lorsque x = 6 et donc y = 12.
Ce qui signifie que la production journalière pour un coût total de 36 milliers d'euros sera maximale lorsque la durée journalière de travail de la main d'œuvre sera de 6 heures et la durée journalière d'utilisation des machines sera de 12 heures.
b) La quantité journalière de 12 tonnes.