Annales gratuites Bac ES : Médicament

(6 points)

Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.

PARTIE 1 : Étude des coûts hebdomadaires de production.

1. Le coût marginal de production est fonction de la quantité x de médicament produit.
Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction C_m définie pour les nombres réels x de l'intervalle [0 ; 10] par : .

(C_m (x) est exprimé en centaines d'euros, x en kilogrammes).
Etudier les variations de la fonction C_m, puis dresser le tableau de variation de la fonction C_m sur l'intervalle [0 ; 10].

2. En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction C_m. Déterminer la fonction C, primitive de la fonction C_m sur l'intervalle [0 ; 10] qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant que C(0) = 0.

PARTIE 2 : Étude du bénéfice hebdomadaire.

On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu.
Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse x (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [1 ; 10] par : B(x) = 9x — 0,5x² — 16ln(x + 1).

La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe T donnée ci-dessous.

1.
a) On admet que la fonction B est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; 7] et strictement décroissante sur l'intervalle [7 ; 10].
En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal.
b) Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro).

2.
a) Utiliser la courbe T pour déterminer un encadrement d'amplitude 0,5 de la plus petite quantité x₀ de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.
b) Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de x₀  approchée au centième.

I - L'ANALYSE DU SUJET

Modélisation du coût marginal par une fonction rationnelle et un bénéfice hebdomadaire modélisé par une fonction logarithme.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Fonction logarithme
● Primitive
● Lecture graphique
● Solution approchée d'une équation

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Une maîtrise du cours sur les fonctions est essentielle.
Il faut savoir exploiter les ressources d'une calculatrice programmable pour la recherche d'une solution approchée d'une équation.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Dérivées
● Sens de variation

V - LES RESULTATS

Partie 1 :

1.

2.

Partie 2 :

1.
a) 7 kilogrammes
b) 5,23 centaines d'euros

2.
a) 2,5 < x_o < 3
b) 2,84 au centième près par défaut
ou  2,85 au centième près par excès.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie 1 :

La fonction C_m est définie par sur l'intervalle [0 ; 10]

C'_m(x) est du signe de x—3 car sur l'intervalle [0 ; 10] .

On en déduit que : 
C'_m(x) ≥ 0 ssi x—3 ≥ 0
C'_m(x) ≥ 0 ssi x ≥ 3
C'_m(x) ≤ 0 ssi x ≤ 3.
La fonction C_m est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 3] et strictement croissante sur l'intervalle [3 ; 10].

1.
En résulte le tableau de variation suivant :

2.
L'ensemble des primitives de C_m sur l'intervalle [0 ; 10] est :
 où k est une constante réelle.

La fonction C primitive de la fonction C_m avec C(0) = 0 est définie par :
   car dans ce cas k = 0.

Partie 2 :

B(x) = 9x — 0,5x² — 16ln(x + 1)

1.
a) Comme la fonction B admet un maximum en 7 alors la quantité de médicament que l'entreprise doit produire pour que son bénéfice hebdomadaire soit maximal est de 7 kilogrammes.
b) B(7) = 9×7—0,5×49—16ln8

centaines d'euros.
Soit 523 euros.

2.
a) Un encadrement d'amplitude 0,5 de la plus petite quantité x_o de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent est : 
2,5 < x_o < 3.
b) A l'aide d'une calculatrice on obtient 2,84 < x_o < 2,85 soit 2,84 au centième près par défaut ou 2,85 au centième près par excès.