Annales gratuites Bac STI Génie Civil : Plan complexe

(5points)

i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z² + 2z + 10 = 0.

2. Déterminer les nombres complexes c et d vérifiant le système :

3. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 1cm.
a) Placer sur une figure les points A, B, C et D dont les affixes respectives sont :

—1 + 3i ,     —1 — 3i ,     3 — 5i et     7 + 3i

b) Démontrer que le triangle BAD est rectangle en A.

c) Démontrer que le triangle BCD est rectangle en C.

d) En déduire que les quatre points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on déterminera le centre  et le rayon. Tracer le cercle sur la figure.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

On résout une équation différentielle du second ordre, on détermine une solution particulière satisfaisant à certaines contraintes.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Equation différentielle y⁴ + w²y = 0
● Trigonométrie.
● Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.

III - LES RESULTATS

1. — 1 — 3i, — 1 + 3i

2. c = 3 — 5i et d = 7 + 3i

3. voir graphique ci-dessous.

Les points ABCD sont situés sur le cercle de centre Ω (3 ; 0) et de rayon r = 5.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Soit l’équation z² + 2z + 10 = 0
∆ = 4 — 40
   = — 36
   = 36i²

d’où z₁ =

et    z₂ = — 1 — 3i

Les solutions complexes de l’équation sont :

— 1 + 3i et — 1 — 3i

2. On a

en soustrayant les deux équations on obtient
— c = — 3 + 5i
d’où c = 3 — 5i
et donc d = 4 + 8i + 3 — 5i

soit d = 7 + 3i

3.
a) Voir graphique
b) On a z_D — z_A = 7 + 3i + 1 — 3i
                       = 8

et z_B — z_A  = — 1 — 3i + 1 — 3i
                = — 6i

d’où

et donc Arg

donc

donc ABD est un triangle rectangle en B.

c) z_D — z_C = 7 + 3i — 3 + 5i
               = 4 + 8i

z_B — z_C = — 1 — 3i — 3 + 5i
           = — 4 + 2i

z_D — z_B = 7 + 3i + 1 + 3i
           = 8 + 6i

On a donc :

On constate donc que BD² = BC² + DC² donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, on a (BCD) triangle rectangle en C.

d)  Le triangle (ABC) est rectangle en A, il est donc inscrit dans le demi-cercle de centre, le milieu de [BD] et de rayon

Il en est de même pour le triangle (BCD). Donc les points ABCD sont situés sur le cercle de centre Ω milieu de [BD] et de rayon r = 

avec Ω (3 ; 0) et r = 5