Exercice 2 :

Commun à tous les candidats

1) Restitution organisée des connaissances.

Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessus que si et sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0.

Propriété 1 : si deux suites et sont adjacentes avec croissante et décroissante alors, pour tout entier naturel ,.

Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

2) Dans les cas suivants, les suites et ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ? Justifier les réponses.

a) = et  ;

b) et  ;

c) et .

3) On considère un nombre réel positif et les suites et définies pour tout nombre entier naturel non nul par : et .

Existe-t-il une valeur de telle que les suites soient adjacentes ?

I. Intérêt du sujet

Exercice type sur les suites adjacentes.

II. Savoir et savoir-faire

– ROC des suites adjacentes ;

- Calculs de limites de suites définies explicitement ;

- Sens de variations de suites.

III. Résultats

1) ROC

2) a.etadjacentes et convergent vers 1.

b. maisetnon adjacentes.

c. mais etnon adjacentes.

3) pour queetsoient adjacentes.

IV. Développement

1) ROC :etsont deux suites adjacentes donc l’une est croissante et l’autre décroissante.

Appelonsla suite croissante etla suite décroissante. On a alors pour tout , .

Or commeest croissante, pour tout , . Par conséquent pour tout , doncest minorée par .

De même commeest décroissante, pour tout , . Donc la suiteest majorée par.

est croissante et majorée donc elle converge.

est décroissante et minorée donc elle converge.

Appelonsla limite deet la limite de.

On a (définition).

D’où .

D’où .

Nous venons de démontrer que sietsont deux suites adjacentes, alors elles convergent et elles ont la même limite.

2) a. On va justifier queetsont adjacentes.

Doncest croissante.

Doncest décroissante.

Or ]0 , 1[, donc .

Par conséquent,etvérifient la définition. Elles sont donc adjacentes, donc elles convergent et ont la même limite.

b. car par composition de fonctions.

car .

Donc etont la même limite mais ne convergent pas. Elles ne sont donc pas adjacentes.

c. car

car

Donc .

Par le théorème des gendarmes : .

Doncetont la même limite. En revanche,etne sont pas adjacentes car est croissante mais n’est pas décroissante.

Contre exemple :

3) Pour queetsoient adjacentes, il est nécessaire qu’elles aient la même limite.

Or et .

Donc nécessairement , d’où .

Prouvons maintenant qu’avec ,etsont adjacentes.

.

Doncest croissante.

0 car

Doncest décroissante.

Il nous reste à prouver que

par somme de limites.

Les suites et sont adjacentes.

V. Difficultés

Il ne fallait pas confondre l’égalité des limites de suites avec les suites adjacentes. Ainsi, deux suites adjacentes convergent vers la même limite (finie) alors que la réciproque est fausse.