Annales gratuites Bac S : Similitude-spé

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct.
Soient A et B les points d'affixes respectives.

1. On considère la droite (d) d'équation 4x + 3y = 1.
Démontrer que l'ensemble des points de (d) dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points M_k (3k + 1, -4k —1) lorsque k décrit l'ensemble des entiers relatifs.

2. Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en M₋₁ (-2, 3).

3. Soit s la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe.

Déterminer l'image de A par s, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de s.

4. On note B₁ l'image de B par s et pour tout entier naturel n non nul, B_n+1 l'image de B_n par s.

a) Déterminer la longueur AB_n+1 en fonction de AB_n.
b) A partir de quel entier n le point B_n appartient-il au disque de centre A et de rayon 10^-2 ?
c) Déterminer l'ensemble des entiers n pour lesquels A, B₁ et B_n sont alignés.

(5 points)

I - L'ANALYSE DU SUJET

Sujet complet dont la difficulté réside dans l'étendue du programme concerné (3 à 4 chapitres). Les calculs sont classiques mais pas faciles.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Arithmétique (équations diophantienne)
● Similitude et complexe
● Suites

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Cet exercice comprend 3 voire 4 chapitres de terminale.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Equations diophantienne
● Similitude directe
● Suite géométrique et arithmétique

V - LES RESULTATS

1- Cette question revient à la résolution de l'équation Diophantienne 4x + 3y = 1 (E)
Le couple(1;-1) est une solution particulière de cette équation.
4x + 3y = 1
4 × 1 + 3× (−1) = 1
4(x − 1) +3(y + 1) = 0
d'où 4( x− 1) = 3(−y − 1) (*)

4 et 3 sont premiers entre eux et 3 divise 4(x − 1).
D'après le théorème de GAUSS, 3 divise (x − 1).
Par conséquent il existe k∈ ℤ; x − 1 = 3k

En remplaçant dans (*) x − 1 par 3k, on obtient :
4 × 3k = 3(− y− 1)
D'où −y − 1 = 4k
On a alors : toutes solutions de l'équation est du type :
 avec le k∈ℤ

Réciproquement tout couple du type :
avec le k∈ℤ

est-il solution de (E)?

4(3k + 1) + 3(−4k − 1) = 12k + 4 − 12k − 3 = 1
Nous venons de résoudre l'équation 4x + 3y = 1 dans l'ensemble  ℤ×ℤ.

C'est à dire que les points de la droite (d) à coordonnées entières sont bien les points M_k(3k+1;−4k−1) lorsque k décrit ℤ.

2. Appelons θ l'angle de la similitude directe de centre A qui transforme B en M_-1 et φ son rapport.
On a θ =(2π) avec z_-−1=-2+3i et φ =

Calculons  =

Ce qui nous donne θ = arg(i) (2π)
                            

Et                        

la similitude directe de centre A qui transforme B en M_{-1 a  comme angle et  comme rapport.}

3. z_A = 1 − i

L'image de A a pour affixe
z' =

z' =

z' = 1 − i
Donc l'image de A par s est A.

A est donc le centre de la similitude directe s.
Son angle est arg() =  (2π)
Son rapport est .
s est la similitude directe de centre A, d'angle  et de rapport.

4.a) ∀ n, appelons z_n l'affixe de B_n.
AB_n+1 =
or B_n+1 est l'image de B_n par s.
Par conséquent  = i(z_n-z_A)
Donc

D'où

b) La suite (AB_n)_n est donc une suite géométrique de raison .
Son premier terme est  
D'où

Par conséquent

Pour que B_n appartienne au disque de centre A et de rayon 10^-2 il faut que AB_n≤10^-2.

A partir de n = 17, B_n appartient au disque de centre A et de rayon 10^-2.

c) A,B_1et B_n sont alignés

                                    Or   angle de s.

                                    Donc

Par conséquent A,B₁et B_n sont alignés

C'est à dire que pour tout n impair A,B₁ et B_n sont alignés.