Annales gratuites Bac STG Compta finance : Statistiques

(6 points)
Le tableau ci-dessous retrace l'évolution sur une vingtaine d'années du record du monde de natation à l'épreuve du 100 mètres nage libre Hommes.

Source : Site officiel du mouvement olympique.

Une représentation du nuage de points (x_i ; y_i) est donnée en annexe 1 à rendre avec la copie.

1.
a. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au millième).

Pour l'étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite D d'équation
y = — 0,08 x + 49,2y

b. Tracer la droite D sur le graphique de l'annexe 1 à rendre avec la copie.

c. En utilisant ce modèle d'ajustement, donner une estimation du temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre Hommes en 2008.

2.
a. Calculer le taux d'évolution du temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre Hommes entre 1981 et 2000 (arrondir le résultat à 0,01 %).

b. Sur les dix neuf années de 1981 à 2000, le temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre Hommes a été amélioré chaque année en moyenne de 0,164 %,
Expliquer comment obtenir ce résultat.

c. On suppose qu'à partir de l'année 2000 l'évolution va se poursuivre sur le même rythme, c'est-à-dire que chaque année le temps de ce record baissera de 0,164 %.
Calculer, selon ce modèle, une estimation du temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre Hommes en 2008.

3. Pendant les jeux olympiques de Pékin, lors de l'été 2008, Eamon Sullivan a abaissé le temps du record à 47,05 secondes.

Parmi les deux modèles précédents, indiquer celui qui donne la meilleure approximation.

Annexe 1 à rendre avec la copie

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

La première partie sur les statistiques était relativement facile.
La deuxième partie sur les taux d'évolution était plutôt difficile car le sujet ne donnait aucune indication. Une maîtrise du cours était nécessaire.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Exploiter les ressources statistiques d'une calculatrice programmable.
● Ajustement affine par la méthode des moindres carrés.
● Taux d'évolution.
● Taux d'évolution moyen.

III - LES RESULTATS

1.
a. y = -0,076x + 49,274
c. 46,96 secondes.

2.
a. Diminution de 3,08%.
b. 0,164%
c. 47,22 secondes.

3. Le second modèle.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.
a. L'équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide d'une calculatrice est : y = -0,076x + 49,274

b. Voir graphique :
y = -0,08x + 49,2
La droite D passe par les points A et B de coordonnées respectives (0 ; 49,2) et (20 ; 47,60).

c. Pour estimer le temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre Hommes en 2008, remplacer x par 28 correspondant au rang de cette année.
On a donc : y = -0,08 × 28 + 49,2
Soit 46,96 secondes.

Annexe 1 à rendre avec la copie

2. a. Le taux d'évolution du temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre Hommes entre 1981 et 2000 est :

Soit une diminution de 3,08 %.

b. Soit t le taux d'évolution annuel. Comme il s'agit d'une diminution on a alors :



soit

D'où une baisse annuelle de 0,164 %.

c. Le temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre Hommes en 2008 est :
47,84(1—0,00164)⁸
Soit 47,22 secondes.

3. Le second modèle donne une meilleure approximation du temps réalisé par Eamon Sullivan lors des jeux olympiques de Pékin de 2008.