Annales gratuites Bac STG Comm. gestion RH : Statistiques

(8 points)

Une entreprise fabriquant des montures de lunettes veut créer un nouveau modèle. Pour choisir les matériaux à utiliser, elle mène une enquête auprès de porteurs de lunettes, en proposant dix prix différents. Les résultats sont reportés dans le tableau suivant :

1. Représenter graphiquement le nuage de points (xi ; yi) dans un repère, sur du papier millimétré. On prendra pour unités : 1 cm pour 50 € sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 50 personnes sur l'axe des ordonnées.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.

3. On donne le point A de coordonnées (260 ; 409). Placer les points A et G sur le graphique, puis tracer la droite (AG).

4. On admet que la droite (AG) constitue un ajustement convenable du nuage de points précédent. Vérifier que la droite (AG) a pour équation : .

Pour la suite, on utilisera : y = — 0,7x + 589, le coefficient de x étant arrondi au dixième.

5. En utilisant l'ajustement précédent, calculer une estimation du nombre de montures vendues en proposant un prix de vente de 500 euros.

6. Dans cette question 6, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Les frais de fabrication sont de 150 € par monture et les frais fixes (indépendants du nombre de montures vendues) sont de 10 000 €.
Pour x appartenant à l'intervalle [240 ; 800], on note B(x)le bénéfice dégagé par la vente de y au prix unitaire de x euros.

a. Montrer que B(x) = — 0,7x² + 694x — 98 350

b. Pour x appartenant à [240 ; 800], on considère la fonction B qui à x associe B(x). Déterminer la fonction dérivée B ' de B sur [240 ; 800].

c. En déduire les variations de la fonction B, pour x appartenant à l'intervalle [240 ; 800], puis le prix de vente de la monture (arrondi au centime) pour lequel le bénéfice B(x) est maximal.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

● Première partie de statistique à deux variables.
● Deuxième partie d'étude de fonction du second degré.
● L'ensemble est classique, à part la question 6. a. où il faut retrouver le bénéfice en fonction du prix x et non de la quantité y.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Statistique à deux variables.
● Ajustement affine.
● Dérivée d'un polynôme du second degré.

III - LES RESULTATS

1. et 3. voir graphique
2. G(520,229)
4. (AG) a pour équation :

5. On peut estimer vendre 239 montures
6. a. B(x) = —0,7x² + 694x — 98350
    b. B'(x) = —1,4x + 694
    c.

Le prix pour que le bénéfice soit maximal est 495,71 €.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Voir graphique
2. G(520,229)
3. A(260,409), tracé de (AG).
4. Vérifions que les coordonnées des points A et G vérifient l'équation réduite :
    

    Par conséquent (AG) a comme équation réduite :
    

5. On remplace x par 500, dans l'équation précédente:
    y = — 0,7 × 500 + 589 = 239
    Si le prix de la monture est 500 € alors on peut estimer à 239 le nombre de montures     vendues.

6. a. Calculons les coûts en fonction de y : nombre de monture
        C(y) = 150y + 10 000

        On a alors C(x) = 150(—0,7x + 589) + 10 000
                               = —105x + 98 350

        La recette R(x) = y × x = (—0,7x + 589)x = —0,7x² + 589x

        On a alors B(x) = R(x) — C(x)
                               = (—0,7x² + 589x) — (—105x + 98 350)
                               = —0,7x² + 694x — 98 350
    b. B'(x) = —1,4x + 694
    c. Etudions le signe de B'(x).
        B'(x) est du premier degré et s'annule en

        Le signe de B'(x) est donc

        B est croissante suret décroissante sur.

        Par conséquent le bénéfice sera maximal pour le prix de .