Annales gratuites Bac Général L spé Maths : Suite et algorithme

(9 points)

On considère la suite (u_n) géométrique de premier terme u₀ = 2 et de raison 3.

1.

a. Déterminer les termes u₁, u₂, u₃ et u₄.

b. Donner l'écriture en base 7 de u₂.
c. Montrer que l'écriture en base 7 de u₃ est

d. Pour obtenir l'écriture en base 7 de u₄, un élève a effectué la multiplication ci-dessous. Dire s'il a ou non raison et expliquer pourquoi.

2.

a. Montrer que u₅ = 486.

b. On considère l'algorithme suivant :

Entrée          : a un entier naturel.

Initialisation :  L liste vide ;
                       Affecter la valeur a à x.

Traitement   : Tant que x > 0 ;
                       Effectuer la division euclidienne de x par 7 ;
                       Affecter son reste à r et son quotient à q ;
                       Mettre la valeur de r au début de la liste L ;
                       Affecter q à x.

Sortie           : Afficher les éléments de la liste L.

Faire fonctionner cet algorithme pour a = 486. On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complètera :

Expliquez le lien entre les éléments de la liste L et l'écriture de u₅ en base 7.

3.

On a divisé le terme u₁₀ de la suite (u_n) par un certain entier. On obtient le quotient Q dont l'écriture décimale est Q = 14,72727272727272... écriture dans laquelle les chiffres 7 et 2 se répètent à l'infini.

On note (v_n) la suite géométrique de premier terme 0,72 et de raison 0,01.

a. Calculer v₀ + v₁ + v₂.

b. On pose S_n = v₀ + v₁ + v₂ + ... + v_n où n est un entier naturel non nul.
Calculer S_n. En déduire .

c. En déduire une écriture de 0,727272...où les chiffres 7 et 2 se répètent à l'infini sous la forme du quotient de deux entiers.

d. Quel est le nombre par lequel on a divisé u₁₀ ?

I - L'ANALYSE DU SUJET

Le sujet est assez délicat.
Il nécessite de bonnes connaissances sur les nombres entiers et rationnels et leurs écritures possibles.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Suite géométrique
● Arithmétique : écriture en bases différentes
● Algorithme
● Nombres rationnels

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Une des difficultés réside dans le fait que la résolution du problème nécessite de modéliser différents types de connaissances : suites, puis arithmétique, puis algorithmiques etc. Mais la question 3, passage d'une écriture décimale périodique illimitée à une écriture fractionnaire est sans doute la plus délicate.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Suites géométriques :
— Somme des n premiers termes
● Arithmétiques :
— Ecriture d'un nombre en base 7
— Ecriture décimale périodique illimitée et écriture fractionnaire d'un nombre rationnel
● Algorithmique

V - LES RESULTATS

1.
a) u₁ = 6
    u₂ = 18
    u₃ = 54

b)

c)

d) Calcul erroné

2.
a) u₅ = 486

b)

3.
a) v₀ + v₁ + v₂ = 0.727272

b)

c)

d) x = 8019

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.
a) (u_n) est une suite géométrique de premier terme u₀ = 2 et de raison 3, on a donc :
u₁ = 3 x u₀ = 3 x 2 = 6
u₂ = 3 x u₁ = 3 x 6 = 18
u₃ = 3 x u₂ = 3 x 18 = 54

b) u₂ = 18   or   18 = 2 x 7 + 4
donc

c)

d'où

d) On a bien u₄ = 3 x u₃
Il est donc raisonnable de penser calculer u₄ en posant l'opération proposée, mais elle doit être effectuée en base 7, or en base 7 le produit 3 x 5 ne conduit pas à l'écriture  mais à  donc le calcul posé ne conduit pas au bon résultat.

2.
a) u₅ = 3 x u₄ = (3)⁵xu₀ = 243 x 2 = 486

b)

Les éléments de la liste L sont les restes dans les divisions euclidiennes successives par 7 à partir de 486 jusqu'à obtention d'un quotient nul.
Ce sont donc les chiffres successifs de l'écriture en base 7 de u₅
on a

3. (v_n) est la suite géométrique de premier terme 0,72 et de raison 0,01
a) v₀+v₁+v₂ = 0.72+0.01x0.72+0.0001x0.72
= 0.72 (1,0101)
= 0.727272

b)

On a  avec v₀ = 0.72 et q = 0.01 = 10^-2

et donc

On sait que

donc

c) On a vu que v₀+v₁+v₂ = 0.727272
et donc
S_n = v₀+v₁+v₂+...+v_n = 0.7272...72    (72 répété (n+1) fois)

et donc

d) On a u₁₀ = 3¹⁰ x 2
soit x le nombre cherché tel que
 + 14

et donc  =

x =  =

= 11 x 3⁶

= 729 x 11

soit x = 8019