Annales gratuites Bac STG Comm. gestion RH : Suites et feuille de calculs

(8 points)

Formulaire :
● Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison a :

● Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison b :

Monsieur ELIOT a le projet de souscrire un contrat d'entretien pour sa chaudière à partir de janvier 2009. Il contacte l'entreprise CHAUFECO et l'entreprise CHAUFMAX. Chacune d'entre elles propose une évolution différente des versements pour un contrat offrant les mêmes prestations.

1. Pour l'entreprise CHAUFECO, il s'agit d'un contrat sur 10 ans avec un versement de 150 € la première année puis une augmentation du versement de 3,25 € par an jusqu'à la fin du contrat. Pour se rendre compte de l'évolution des versements annuels, Monsieur ELIOT utilise un tableur dont on a extrait la feuille de calcul suivante (les résultats sont arrondis au centime d'euro).

   a. Donner une formule qui, entrée dans la cellule B3, a permis par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules B3 : B11.
   b. La plage de cellule C3 : C11 a été obtenue par recopie vers le bas à partir de la cellule C3. Quelle formule contient la cellule C6 ?
   c. Quelle information concernant le contrat de l'entreprise CHAUFECO donne à monsieur ELIOT le résultat affiché dans la cellule C11 ?

2. Pour l'entreprise CHAUFMAX, il s'agit d'un contrat sur 10 ans avec un versement de 150 € la première année puis une augmentation de 2% par an jusqu'à la fin du contrat.
Monsieur ELIOT désire alors compléter la feuille de calcul précédente afin d'obtenir les versements correspondant à chacune des entreprises. On a extrait la feuille de calcul suivante :

   a. Expliquer le résultat obtenu dans la cellule E4.
   b. Donner une formule qui, entrée dans la cellule E4, permet par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules E4 : E12.
   c. On pose u₀ = 150 et on note (u_n) le versement, en euros, de l'année (2009 + n) avec l'entreprise CHAUFMAX.
Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Montrer que, pour tout entier naturel n, u_n = 150 × 1,02ⁿ.
   d. Quel résultat va s'afficher dans la cellule E12 ?
   e. Sans calculer le contenu d'autres cellules, montrer que le résultat qui va s'afficher dans la cellule F12 est 1642,46.

3. Lequel des deux contrats est le plus intéressant pour Monsieur ELIOT ?

4. Monsieur ELIOT désire étudier d'autres propositions du même type que celle de l'entreprise CHAUFMAX, mais avec un taux d'évolution différent.
La formule à la question 2b permet-elle d'y répondre ?
Sinon, en entrant dans la cellule F1 le nouveau taux d'évolution, donner une formule qui, entrée dans la cellule E4 et recopiée vers le bas lui permettra de consulter les montants des versements.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Utilisation d'une feuille de calcul automatisée pour comparer l'offre de deux prestataires de services.
La formulation de la quatrième question de l'exercice n'était pas très claire.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Feuille de calcul automatisée
● Suite géométrique

III - LES RESULTATS

1.
a. = B2 + 3,25
b. = C5 + B6
c. Total des 10 versements

2.
a. 150 × 1,02 = 153
b.= 1,02 * E3
c. Suite géométrique de 1er terme u₀ = 150 et de raison 1,02
d. 179,26
e.    

3. L'entreprise CHAUFMAX propose le contrat le plus intéressant

4. Non.
   = (1 + $F1$) * E3

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.
a. Entrer dans la cellule B3 la formule suivante : = B2 + 3,25
b. La cellule C6 contient la formule suivante : = C5 + B6
c. L'information contenue dans la cellule C11 est le total des 10 versements que devra effectuer Monsieur Eliot à l'entreprise CHAUFECO. Soit 1646,25 €

2.
a. Comme l'augmentation annuelle est de 2 % alors le versement effectué en 2010 sera de 150 × 1,02 soit 153 : résultat obtenu dans la cellule E4
b. Entrer dans la cellule E4 la formule suivante :
 = 1,02 * E3
c. u₀=150, on a u_n+1 = u_n + 0,02 u_n soit u_n + 1 = 1,02 u_n
Donc (u_n) est une suite géométrique de premier terme u₀ = 150 et de raison q = 1,02.
On sait que le terme de rang n d'une suite géométrique de 1er terme u₀ = 150 et de raison q = 1,02 est u_n = u₀qⁿ, soit u_n = 150 × 1,02ⁿ
d. Le résultat affiché dans la cellule E12 est 179,26
(u₉ = 150 × 1,02⁹ = 179,26)
e. Le résultat qui va s'afficher dans la cellule F12 est la somme des dix premiers termes d'une suite géométrique du 1er terme u₀=150 et de raison 1,02.

3. Le contrat proposé par l'entreprise CHAUFMAX est plus intéressant car moins coûteux.

4. La formule à la question 2.b. ne permet pas d'y répondre.
En entrant le nouveau taux d'évolution, dans la cellule F1 alors la formule à saisir dans la cellule E4 est :  = ( 1 + $F1$ ) * E3