Annales gratuites Bac Général L spé Maths : Toboggan

Une entreprise souhaite fabriquer, pour de jeunes enfants, des toboggans dont le profil a l'allure de la courbe ci-contre.

Le plan est muni d'un repère orthonormal . On prendra 3 cm pour unité graphique.

L'objet de l'exercice est de modéliser ce profil à l'aide de la courbe représentative C d'une fonction définie sur l'intervalle [ 0 ; 3 ] vérifiant les conditions suivantes :
(1) La courbe C passe par les points A ( 0 ; 2 ) et B ( 3 ; 0 ).
(2) La courbe C admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

1)
a) Soit f la fonction définie sur l'intervalle R par .
Etudier les variations de la fonction f (on ne demande pas l'étude des limites).
b) Soit g la fonction définie sur l'intervalle R par .
Etudier les variations de la fonction g (on ne demande pas l'étude des limites).

2)
On note respectivement C_f et C_g les courbes représentatives des fonctions f et g.
a) Démontrer que C_f et C_g passent par le point K ( 1 ; 4/3 ) et ont la même tangente T en ce point.
b) Tracer sur un même graphique, la droite T, la partie de C_f correspondant aux points d'abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie de C_g correspondant aux points d'abscisses comprises entre 1 et 3.

Le bureau d'études a établi que l'on pouvait également modéliser le profil du toboggan à l'aide d'une partie de la courbe représentative C_h de la fonction h, définie sur R par :

1)
Démontrer que la fonction h vérifie les conditions (1) et (2).

2)
Déterminer les coordonnées du point de C_h d'abscisse 1 et le coefficient directeur de la tangente en ce point.

Modélisation d'un profil de toboggan à l'aide d'une courbe.

1)
  a) f est définie su R par
On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur R ^- et strictement décroissante sur R ⁺.
  b) g est définie sur R par ;

On en déduit que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle et strictement croissante sur l'intervalle .

2)
  a) C_f passe par le point K (1 ; 4/3), car
      C_g passe par le point K (1 ; 4/3), car
L'équation de la tangente à C_f au point K est :

L'équation de la tangente à C_g au point K est :

En effet, C_f et C_g on la même tangente T au point K.

2)
  b)

La fonction h est définie sur R par :

Pour montrer que la fonction h vérifie les conditions (1) et (2) il suffit de montrer que h(0) = 2 et que h(3) = 0
En effet h(0) = 2 et

D'où h(3) = 0
H vérifie donc bien les deux conditions.

2)

Les coordonnés du point de C_h d'abscisse 1 sont : (1 ; 40/27)

le coefficient directeur de la tangente à C_h au point d'abscisse 1 est h ' (1) soit

Un exercice sans difficulté apparente.