Annales gratuites Bac Général S spé Maths : Transformation complexe

(5 points)

La figure est proposée en annexe. Elle sera complétée tout au long de l'exercice.

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct , on considère les points A, B et C, d'affixes respectives — 5 + 6i, — 7 — 2i et 3 — 2i.

On admet que le point F, d'affixe — 2 + i est le centre du cercle Г circonscrit au triangle ABC.

1. Soit H le point d'affixe — 5. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en point H.

2.
a) Étant donné des nombres complexes z et z', on note M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'. Soient a et b des nombres complexes.
Soit s la transformation d'écriture complexe  qui, au point M associe le point M'.
Déterminer a et b pour que les points A et C soient invariants par s. Quelle est alors la nature de s?
b) En déduire l'affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite (AC).
c) Vérifier que le point E est un point du cercle Г.

3. Soit I le milieu du segment [AC].
Déterminer l'affixe du point G, image du point I par l'homothétie de centre B et de rapport .
Démontrer que les points H, G et F sont alignés.

I - L'ANALYSE DU SUJET

Etude de trois transformations différentes.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Similitude directe du plan.
● Isométrie du plan.
● Homothétie du plan.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Beaucoup de calculs à effectuer en complexe.
Pensez à vérifier graphiquement.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Définition du rapport et de l'angle d'une similitude directe.
Fonctions complexes associées aux transformations.
Être à l'aise avec les calculs algébriques de complexes.

V - LES RESULTATS

1. Le rapport est  et l'angle

2.
a) a = —i
b = 1 + i
S est la réflexion d'axe (AC)

b) z_E= 1 + 6i

c) E

3. z_G = —3 + i
H,G et F sont alignés.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. La similitude directe de centre A qui transforme C en H a pour rapport  =  et pour angle . Pour cela calculons :

Par conséquent = et

2.
a) A et C sont invariants par s donc

En substituant b on a

On a donc z ' = — i + (1 + i)
On a
Donc s est une isométrie qui conserve deux points et qui n'est pas l'identité donc s est la réflexion d'axe (AC).

b) E = s(H) Û z_E = —i (_H) + 1 + i
Û z_E = —i (—5) + 1 + i
Ûz_E = 1 + 6i

c) Calculons EF = 

Calculons AF = 

Donc E

3. Calculons

z_G — z_B =  (z_I — z_B)
d'où z_G =  (—1 + 2i + 7 + 2i) + (—7 — 2i)
z_G = 4 + i — 7 — 2i
z_G = —3 + i
Calculons l'affixe de , z_G — z_F = —3 + i + 2 —i = —1 —i
Calculons l'affixe de , z_H —z_F = —5 + 2 —i = — 3 — i
On a donc  = 3 
Les points F,G et H sont alignés.