Annales gratuites Bac S : Transformation complexe

(5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct
Dans tout l'exercice, P\{O} désigne le plan P privé du point origine O.

1. Question de cours
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
● Si z et z' sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz') = arg(z) + arg(z') à 2kp près, avec k entier relatif.
● Pour tout vecteur  non nul d'affixe z on a : à 2kp près, avec k entier relatif.
a. Soit z et z' des nombres complexes non nuls, démontrer que  à 2kp près, avec k entier relatif.

b. Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives a, b, c, on a :  à 2kp près, avec k entier relatif.

2. On considère l'application f de P\{O} dans P\{O} qui, au point M du plan d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' définie par : . On appelle U et V les points  du plan d'affixes respectives 1 et i.

a. Démontrer que pour z ≠ 0, on a arg(z') = arg(z) à 2kp près, avec k entier relatif.
En déduire que, pour tout point M de P\{O}, les points M et M' = f(M) appartiennent à une même demi-droite d'origine O.

b. Déterminer l'ensemble des points M de P\{O} tels que f(M) = M.

c. M est un point du plan P distinct de O, U, et V, on admet que M' est aussi distinct de O, U, et V.
Etablir l'égalité
En déduire une relation entre  et

3.
a. Soit z un nombre complexe tel que z ≠ 1 et z ≠ i et soit M le point d'affixe z. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si  est un nombre réel non nul.

b. Déterminer l'image par f de la droite (UV) privée de U et de V.

I - L'ANALYSE DU SUJET

D'abord une ROC portant sur l'argument de produit et de quotient.
Ensuite une étude des particularités d'une transformation complexe.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Argument du produit de deux complexes.
● Argument du quotient de deux complexes.
● Angle de vecteurs.
● Points invariants d'une transformation complexe.
● Image d'une droite par une transformation complexe.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

La Roc est assez délicate à mener avec rigueur.
Les égalités que l'on doit établir nécessitent une bonne maîtrise du conjugué d'un nombre complexe.

IV - Les OUTILS: SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Il faut bien maîtriser le passage d'un registre à l'autre : le géométrique, les calculs dans les complexes.

V - Les RESULTATS

1. Roc
a.

b

2.
a. arg(z') = arg(z) à 2kπ près.
M et M' sont sur la même demi-doite d'origine 0.

b. Cercle de centre.O et de rayon 1.

c.

3.
a. M est sur la droite (UV) si et seulement si

b. Cercle de diamètre [UV], privé de U et V.

VI - Les RESULTATS commentes et detailles

1.
a. Commençons par prouver que  à 2kπ près.

En utilisant la propriété fondamentale des arguments on a :
 à 2kπ près.
or  et arg(1) = 0 à 2kπ près.
Par conséquent  à 2kπ près donc

Montrons maintenant la propriété demandée.
 à 2kπ près.
= à 2 kπ près.

b.  à 2kπ près.
or (c—a) est l'affixe du vecteur
et (b—a) est l'affixe du vecteur
On a donc  à 2kπ près.
 à 2kπ près.

On obtient donc :

 à 2kπ près

Or

En utilisant la relation de Chasles, on a :

2. a. Pour z ≠ 0,  à 2kπ près

De plus,  à 2kπ près

Or,  à 2kπ près

 à 2kπ près

Donc  à 2kπ près

Par conséquent, M et M' appartiennent à une même demi-droite d'origine O.

b. Pour

f(M)=M ssi  

si et seulement si

La deuxième relation est toujours vérifiée (question a).

On a donc f(M) = M ssi

or

on a donc : f(M) = M ssi

f(M)=M ssi

Par conséquent, l'ensemble des points de P\{0} qui vérifie f(M)=M est le cercle de centre O et de rayon 1.

c. Pour z et z' distinct de 0, 1 et i:

car

On a donc

Or  et

D'après la relation d'un conjugué d'un quotient,

On a:

On en déduit la relation :

On a :  à 2kπ près

 à 2kπ près

  à 2 kπ près

3.
a.Pour z ≠ 1 et z ≠ i

privé de U et V ssi à kπ près

ssi  à kπ près

b. On cherche les points M' images des points M de la droite (UV) privée de U et V.
D'après le 3.a.
privée de U et V ssi  à kπ près

ssi  à kπ près

Donc M' décrit le cercle de diamètre [UV] privé de U et de V.