Annales gratuites Bac S : Variable aléatoire

La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre l où l est un réel strictement positif.
On rappelle que pour tout t  0, .

La fonction R définie sur l'intervalle [0;+[ par R(t) = P(X>t) est appelée fonction de fiabilité.

1. Restitution organisée de connaissances

a) Démontrer que pour tout t  0 on a R(t) = e^—lt.

b) Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel s  0, la probabilité conditionnelle P_x>t(X > t + s) ne dépend pas du nombre t  0.

2. Dans cette question, on prend l = 0,00026.

a) Calculer P(X1000) et P(X>1000).

b) Sachant que l'événement (X>1000) est réalisé, calculer la probabilité de l'événement (X>2000).

c) Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 3000 heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
(5 points)

I - L'ANALYSE DU SUJET

La première partie est une restitution organisée de connaissances sur la loi exponentielle aussi appelée la loi de durée de vie sans vieillissement, la deuxième partie étant l'utilisation de cette loi dans un problème concret.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

Loi continue de probabilité et plus particulièrement loi exponentielle.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Attention, ne pas confondre la fonction de répartition (F(t) = P(X≤t)) et la fonction de fiabilité (R(t) = P(X>t) = 1 — F(t)).

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Notion de loi continue
● Utilisation des intégrales

V - LES RESULTATS

1.
a) ∀ t ≥ 0 R(t) = e^-λt

b) Voir résultats commentés.

2.

a) P(X ≤ 1000) = 1 − e^-0,26 0,229
P(X > 1000) = e^-0,26 0,771

b) P_x>1000(X > 2000) = P(X > 1000) = e^-0,26

c) P_x>2000(X ≤ 3000) = 1 − e^-0,26

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.
a) ∀ t ≥ 0, R(t) = P(X > t) = 1 — P(X ≤ t)

                      = 1 — (—e^-λt + 1)
                      = e^-λt
Nous venons de prouver que

∀ t ≥ 0 R(t) = e^-λt

b)

Or l'événement (X > t + s) ∩ (X > t) correspond à l'événement (X > t + s)

Par conséquent,

                                                  = e^-λt-λs+λt
                                                  = e^-λs = R(s)
Nous venons de prouver que la probabilité conditionnelle P_x>t(X > t+s) est indépendante de t, c'est-à-dire que la variable aléatoire X suit une loi de durée de vie sans vieillissement.

2.
a) P(X ≤ 1000) = 1 ‒ P(X > 1000)
or P(X > 1000) = R(1000) = e^{-0,00026 x 1000} = e^-0,26
Valeur approchée P(X > 1000) 0,771
P(X ≤ 1000) = 1 − e^-0,26
Valeur approchée
P(X ≤ 1000)  0,229

b) D'après la partie 1. et 2.a).
P_x>1000(X>2000)=P(X>1000)=e^-0,26

c) On cherche

Ce qui nous donne :

                          = 

                          = 

                          = P(X ≤ 1000)
                          = 1—e^-0,26
Ce résultat était prévisible car la variable aléatoire suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
C'est-à-dire que la probabilité que l'agenda tombe en panne avant 3000 sachant qu'il a fonctionné plus de 2000 h revient à la probabilité que l'agenda tombe en panne avant 1000 h.