Annales gratuites Bac ST2S : Micro-organismes

Partie A

Soit f la fonction définie sur [0; 7] par f(x) = 12 + 3x — e^0,5x.

1.
a. Calculer f ' (x) et montrer que : f '(x) = 3 — 0,5 e^0,5x.
b. Résoudre l'inéquation f '(x) ≥ 0.
c. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

2. Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les résultats à 0,1 près) :

3. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ;
unités : 2 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour une unité en ordonnées.

Partie B

On introduit une substance S dans un liquide contenant un certain type de micro-organismes afin d'en stopper la prolifération.
On suppose que le nombre (en millions) de micro-organismes présents au bout du temps x (en heure) écoulé depuis l'introduction de la substance S est donné par l'expression:
f(x) = 12 + 3x — e^0,5x

1. Quel est le nombre de micro-organismes au bout d'une heure ? Au bout d'une heure et trente minutes ? (Arrondir les résultats à 100 000 près)

2. Au bout de combien de temps la population est-elle maximale ? Quelle est cette population maximale ?

3. Déterminer graphiquement durant combien de temps la population est supérieure ou égale à 12 millions (laisser apparents les traits de la construction).

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Application pratique de l'étude d'une fonction exponentielle qui nécessitait de bien savoir faire le lien entre théorie et pratique.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Fonction exponentielle
● Equations, inéquations
● Lecture graphique

III - LES RESULTATS

Partie A

1.
a. f ' (x) = 3 — 0,5 e^{0,5 x}

b. f ' (x) ≥ 0 si et seulement si x ≤ 2 ln 6
c.
f est croissante si et seulement si  x ≤ 2 ln 6
f est décroissante si x ≥ 2 ln 6

2. voir courbe ci-après.

Partie B

1.
13,4 millions au bout d'une heure.
14,4 millions au bout d'une heure et trente minutes.

2. La population atteint son maximum au bout de 3h36 min environ. Elle est de 16,8 millions.

3. 5h15 min environ.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A

1.
On a f(x) = 12 + 3x — e^{0,5 x} pour .
a.
On sait que (e^u) ' = u ' e ^u
donc f ' (x) = 3 — 0,5 e^{0,5 x}

b.
f ' (x) ≥ 0 si et seulement si 3 — 0,5 e ^{0,5 x} ≥ 0
soit
3 ≥ 0,5 e ^{0,5 x}
e ^{0,5 x} ≤ 6
0,5 x ≤ ln 6
x ≤ 2 ln 6

c. D'où le tableau de variation de f :

2 ln 6 = 3,6 à 10 ' près
6 + 6 ln 6 = 16,8 à 10 ' près

3.

Partie B

1. f(1) = 13,4
donc
au bout d'une heure, il y a 13,4 millions de micro-organismes.

f(1,5) = 14,4
au bout d'une heure trente, il y a 14,4 millions.

2. La population est maximale pour x = 2ln6 soit 3 h et 36 minutes. Elle est alors de (6+2ln6) millions soit 16.8 millions.

3. Graphiquement, on constate que f(x) > 12 si 0,4 < x < 5,7 donc
la population est supérieure à 12 millions pendant environ 5 heures et quart.