Annales gratuites Bac ST2S : Sport et dopage

(12 points)

Partie A
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 12] par : f(t) = 2 + 15te^—0,8t.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :
Ø 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses
Ø 1 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.

On note f' la fonction dérivée de la fonction f.
1.
a) Calculer f'(t) et montrer que : f'(t) = 12(1,25 — t)e^—0,8t.
b) Étudier le signe de f'(t) sur l'intervalle [0 ; 12].
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 12].
Indiquer les valeurs exactes des nombres portés dans ce tableau : f(0), f(12) et le maximum de f.

2. Soit A le point d'abscisse 0 de la courbe C et (T) la tangente en A à la courbe C.
Déterminer une équation de la tangente (T).

3.
a) Reproduire et compléter le tableau suivant (arrondir les résultats à 0,1 près).

b) Tracer la tangente (T) et la courbe C sur la feuille de papier millimétré fournie.

Partie B
Un sportif a absorbé un produit dopant.
On admet que f(t) représente le taux de produit dopant, en mg/l, présent dans le sang de ce sportif en fonction du temps t, en heures, écoulé depuis l'absorption durant les douze heures qui suivent cette absorption.

1. Déterminer par le calcul le taux de produit dopant présent dans le sang du sportif au bout de 2 heures et 30 minutes.
Arrondir à 0,1 près.

2. Au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang du sportif est-il maximal ?
Exprimer le résultat en heures et minutes.

3. Les règlements sportifs interdisent l'usage de ce produit dopant. Le taux maximum autorisé est de 3 mg/l.
Déterminer graphiquement au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang de ce sportif redescend en dessous de 3 mg/l.
Laisser apparents les traits de construction utiles.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Grâce à l'étude d'une fonction exponentielle on détermine le taux de produit dopant dans le sang selon le temps écoulé.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

— fonction exponentielle
— tangente
— lecture graphique
— utilisation de la calculatrice

III - LES RESULTATS

PARTIE A

1.
a) f ' (t) = 12 (1,25 — t)

b) f ' (t) ≥ 0 si 0 ≤ t ≤ 1,25

f ' (t) < 0 si 1,25 < t ≤ 12

c) [Ici, bientôt une représentation graphique]

2. y = 15x + 2

3.
a) voir tableau de valeurs
b) voir graphique

PARTIE B

1. 7
2. 1 h 15 min
3. 5 h 30 min

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

PARTIE A

1.
a) On a f (t) = 2 + 15t t[0 ; 12]

f ' (t) = 

= 

= 

= 

b) On sait que e^x > 0 pour tout x  
donc f ' (t) est du signe de (1,25 — t)

or 1,25 — t ≥ 0

si et seulement si t ≤ 1,25

donc si 0 ≤ t ≤ 1,25 alors f '(t) ≥ 0

et si 1,25 < t ≤ 12 alors f '(t) < 0

c) On a :
f (0) = 2
f (12) = 2 + 160e^—9,6

f (1,25) = 2 + 18,75e^—1

d'où le tableau de variation de f

2. On a f '(0) = 121,25 = 15

Donc l'équation de la tangente au point d'abscisse 0 sera :
y — 2 = 15x 
soit y = 15x + 2

3.
a)

b) voir graphique.

PARTIE B

1. 2h et 30 minutes correspondent à t = 2,5
f (2,5) = 2 + 152,5e^—0,82,5

soit 7 µg/l à 10^—1 près.

2. Le taux de produit dopant est maximal pour t = 1,25
soit 1h et 15 minutes.

3. Le taux de produit dopant redescend en dessous de 3 µg/l environ 5 h 30 min après.