Le sujet 2006 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Travaux numériques |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur des activités numériques. |
12 points
Exercice 1 :
On donne :
, , .
1. Calculer A et donner le résultat sous la
forme d'une fraction irréductible.
2. Ecrire B sous la forme où a
est un entier relatif et b un entier naturel le plus petit possible.
3. Calculer C et donner son écriture scientifique.
Exercice 2 :
On considère l'expression :
E = (3x + 2)2 — (5 — 2x)(3x +
2).
1. Développer et réduire l'expression E.
2. Factoriser E.
3. Calculer la valeur de E pour x = —2.
4. Résoudre l'équation (3x + 2)(5x — 3) = 0.
Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?
Exercice 3 :
On considère le système suivant :
1. Le couple (x = 2 ; y = 0,5) est-il
solution de ce système ?
2. Résoudre le système d'équations.
3. A la boulangerie, Anatole achète 2 croissants et 3 pains au chocolat
: il paie 5,50 €. Béatrice achète 3 croissants et 1 pain au chocolat et
paie 4,05 €.
Quel est le prix d'un croissant ? Quel est le prix d'un pain au chocolat ?
I - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Fractions
● Décimaux
● Radicaux
● Ecriture scientifique
● Développement
● Factorisation
● Equation
● Système d'équation
II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Bien appliquer les
règles de calcul avec les fractions et les radicaux.
● Savoir développer et factoriser.
III - LES DIFFICULTES RENCONTREES
Il fallait faire le lien entre la résolution du système et le problème proposé.
IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
Activités numériques
Exercice 1 :
1.
Or :
2.
car
3.
Exercice 2 :
E = (3x + 2)2 — (5 — 2x)(3x + 2)
1.
Développons E.
E = 9x2 + 12x + 4—(15x + 10 — 6x2 — 4x)
E = 9x2 + 12x + 4 — (—6x2 + 11x + 10)
E = 9x2 + 12x + 4 + 6x2 — 11x — 10
E = 15x2 + x — 6
2.
Factorisons E.
(3x + 2) est un facteur commun.
E = (3x + 2)[(3x + 2) — (5 — 2x)]
E = (3x + 2)(3x + 2 — 5 + 2x)
E = (3x + 2)(5x — 3)
3.
Pour avoir la valeur de E pour x = —2, il faut remplacer x
par —2 dans E = 15x2+x—6.
On obtient alors :
E = 15(—2)2 — 2 — 6
E = 15 × 4 — 8
E = 60 — 8
D'où E = 52
4.
Résoudre l'équation (3x + 2)(5x — 3) = 0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
On a alors :
3x + 2 = 0 ou 5x — 3 = 0
3x = —2 ou 5x = 3
Les solutions de cette équation sont :
est un nombre décimal.
n'est pas un nombre décimal mais un nombre rationnel car la division de 2 par 3
donne un nombre avec une partie décimale périodique illimitée.
Exercice 3 :
1.
Considérons le système suivant :
Un couple (x ; y) est solution d'un système si ce couple vérifie simultanément les deux équations.
Vérifions si le couple (x = 2 ; y = 0,5) est solution du système.
Remplaçons x par 2 et y par 0,5 dans la première équation.
2(2) + 3(0,5) = 4 + 1,5 = 5,5
La première équation est vérifiée.
De même, remplaçons x par 2 et y par 0,5 dans la deuxième équation.
3(2) + 0,5 = 6,5
La deuxième équation n'est pas vérifiée.
Donc le couple (2 ; 0,5) n'est pas solution du système proposé.
2.
Multiplions les 2 membres de l'équation (2) par (—3) puis effectuons une addition membre à membre des 2 égalités pour éliminer y.
On obtient :
Par addition membre à membre, on obtient : —7x = —6,65
Donc :
Soit x = 0,95.
Remplaçons x par sa valeur dans l'équation (2) pour trouver y.
3x + y = 4,05
y = —3x + 4,05
y = —3 × 0,95 + 4,05
Soit y = 1,2.
Le système admet donc pour solution le couple (x ; y) = (0,95 ; 1,2).
3.
Soit x le prix du croissant et y le prix d'un pain au
chocolat :
Le prix payé par Anatole pour 2 croissants et 3 pains au
chocolat se traduit par :
et le prix de 3 croissants et 1 pain au chocolat par :
On obtient donc le système suivant :
On en déduit d'après les résultats obtenus en 2. que le prix d'un croissant est de 0,95 € et le prix d'un pain au chocolat de 1,20 €