Annales gratuites Brevet Série Collège : Championnat de voile

En 1997, le championnat de voile U.N.S.S. de la région Bourgogne s'est déroulé au lac des Settons dans la Nièvre.
Le plan est muni d'un repère orthonormal (S, I, J) ; une unité représente 10 km sur chaque axe.
S désigne le lac des Settons, D la ville de Dijon, de coordonnées (7, 2), N la ville de Nevers de coordonnées (-7, -2) et C la ville de Corbigny (dans la Nièvre) de coordonnées (-3, 1).

1) Faire une figure, en plaçant les points S, D, N, C ainsi que les points A (-4, 7) et M (6, -9)

représentant les villes d'Auxerre et de Mâcon. On complètera cette figure au fur et à mesure du problème.

2)
a - Quelles sont les coordonnées des vecteurs : et ?

b - Montrer que le point S est le milieu du segment [ND].

3) Montrer que et en déduire la distance à vol d'oiseau Nevers-Dijon, arrondie à la dizaine de kilomètres la plus proche.

4) Montrer qu'une équation de la droite (AN) est y = 3x + 19.

5) Déterminer une équation de la droite , perpendiculaire à la droite (AN) et contenant le point S.

6) Vérifier, par le calcul, que la droite passe par le point C.

7) En justifiant la réponse :
a - Les droites (CS) et (AD) sont-elles parallèles ?

b - La droite (CS) contient-elle le milieu du segment [AN] ?

1)

2)
et S est commun aux deux vecteurs donc S est le milieu de [ND]

3)

La distance Nevers-Dijon est environ égale à 150 km.


4)
La droite (AN) est la représentation graphique d'une fonction affine donc de la forme y = ax + b avec :

d'où 9 = 3a
soit a = 3 et donc b = 7 + 12 = 19
L'équation de la droite (AN) sera y = 3x + 19

5)
La droite est perpendiculaire à la droite (AN) donc son coefficient directeur est égal à.
De plus S est sur donc l'équation de la droite est de la forme y = ax .
On a donc : .

6)

car

donc C est sur .

7)a.

et ne sont pas colinéaires donc (CS) et (AD) ne sont pas parallèles.

b.
Le milieu de [AN] a pour coordonnées

or est différent de
donc le milieu de [AN] n'est pas sur la droite (CS).

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