Annales gratuites Brevet Série Collège : Nombres et équations

(12 points)

Exercice 1

On donne le programme de calcul suivant :

1. Montrer que, si on choisit le nombre 10, le résultat obtenu est 260.
2. Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
● le nombre choisi est −5 ;
● le nombre choisi est  ;
● le nombre choisi est  ;
3. Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ?

Exercice 2

2 est-il solution de l'équation 2a² − 3a − 5 = 1 ? Justifier.

Exercice 3

Trois points A, B et C d'une droite graduée ont respectivement pour abscisse :
 ;  et .

Ces trois points sont-ils régulièrement espacés sur la droite graduée ? Justifier.

Exercice 4

Pour 6 kilogrammes de vernis et 4 litres de cire, on paie 95 euros.
Pour 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire on paie 55,50 euros.
Quels sont les prix du kilogramme de vernis et du litre de cire ? Justifier.

I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Nombres.
● Equations.
● Système d'équations.
● Distance de deux points.

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Savoir calculer la distance entre deux points.
● Savoir résoudre par la méthode la plus efficace un système de deux équations à deux inconnues.

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

● La mise en équations pour parvenir au système : bien poser ses inconnues.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Exercice 1 :

1. On choisit le nombre 10
a) Multiplier le nombre par 3
on obtient : 10 × 3 = 30.
b) Ajouter le carré du nombre choisi
on obtient : 30 + 10² = 30 + 100 = 130.
c) Multiplier par 2
on obtient : 130 × 2 = 260

2.
● Si le nombre choisi est (−5)
on obtient : (−5) × 3 = −15
−15 + (−5)² = −15 + 25 = 10
10 × 2 = 20 
● Si le nombre choisi est
On obtient :

● Si le nombre choisi est
On obtient :

 = 

3. Soit x le nombre choisi
on obtient : x × 3 = 3x
3x + x²
(3x + x²) × 2
Ce résultat est égal à zéro.
(3x + x²) × 2 = 0
si et seulement si
3x + x² = 0
x(x + 3) = 0
x = 0 ou x = −3
On peut choisir les nombres 0 et -3 pour obtenir le résultat 0.

Exercice 2 :

Si a = 2
alors 2a² − 3a −5 = 2 × (2)²− 3×2 − 5
2a² − 3a −5 = 2×4 − 3×2 − 5 
2a² − 3a −5 = 8 − 6 − 5
2a² − 3a −5 = 2 − 5
2a² − 3a −5 = −3
donc 2 n'est pas solution de l'équation 2a² - 3a - 5 = 1

Exercice 3

Faisons une représentation sur une droite graduée

On a

On peut donc affirmer que AB = BC
donc les points A, B et C sont régulièrement espacés sur la droite graduée.

Exercice 4 :

Soit x le prix d'un kilogramme de vernis et y le prix d'un litre de cire
on a : 6x + 4y = 95
et 3x + 3y = 55,50
résolvons le système :

On soustrait (2)−(1), on obtient :
2y = 111 − 95
2y = 16
y = 8
si y = 8 alors 6x + 32 = 95
6x = 95 − 32

x = 10,50
Le kilogramme de vernis coûte 10,50 euros et le litre de cire coûte 8 euros.