Le sujet 1998 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème |
Dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, on considère
les points : A (5 ; -3) B (11 ; 0) C (2 ; 3)
1 - Faire une figure.
2 - Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
3 - Soit () la droite d'équation y = -
2x + 7.
Montrer que () est perpendiculaire à la droite
(AB) et que () passe par les points A et C.
4 - Calculer les valeurs exactes des distances AB et AC.
En déduire la nature du triangle ABC.
5 - Soit K le projeté orthogonal du point C sur l'axe des abscisses.
Prouver que les points A, B, C, K sont sur un même cercle.
Calculer les coordonnées du point E, centre du cercle.
Calculer le rayon du cercle.
6 -
a - Construire le point D, image du point C dans la translation de vecteur .
b - Calculer les coordonnées du point D.
c - Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier la réponse.
1 -
2 - . Le coefficient directeur de la droite (AB) est
donc de .
3 - Pour x = +5, on a : (-2) x
(5) + 7 = -3
Donc passe par A.
Pour x = 2, -2 x
2 + 7 = 3
Donc passe par C.
4 -
donc cm
AB = AC : le triangle ABC est isocèle.
De plus , la droite (AC) a pour coefficient directeur -2 et la droite (AB) a
pour coefficient directeur .
Donc -2 x
= -1.
Ces deux droites sont donc perpendiculaires et le triangle ABC est rectangle
isocèle.
5 - et sont deux angles droits
donc K et A sont sur le cercle de diamètre [BC] : A, B, C et K, sont
tous sur le cercle de diamètre [BC].
E est le milieu de [BC] et donc :
EB est le rayon du cercle donc :
valeur approchée.
6 -
a) Voir figure de la question 1.
b) D a pour coordonnées :
x D = x C + 6 = 8
y D = y C + 3 = 6
c) : ABCD est un parallélogramme.
AB = AC : c'est un losange.
L'angle est un angle droit et donc : ABCD est un carré.