Annales gratuites Brevet Série Collège : Repère orthonormal

Dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, on considère les points : A (5 ; -3) B (11 ; 0) C (2 ; 3)

1 - Faire une figure.

2 - Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).

3 - Soit () la droite d'équation y = - 2x + 7.
Montrer que () est perpendiculaire à la droite (AB) et que () passe par les points A et C.

4 - Calculer les valeurs exactes des distances AB et AC.

En déduire la nature du triangle ABC.

5 - Soit K le projeté orthogonal du point C sur l'axe des abscisses.
Prouver que les points A, B, C, K sont sur un même cercle.
Calculer les coordonnées du point E, centre du cercle.
Calculer le rayon du cercle.

6 -
a - Construire le point D, image du point C dans la translation de vecteur .

b - Calculer les coordonnées du point D.

c - Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier la réponse.

1 -

2 - . Le coefficient directeur de la droite (AB) est donc de .

3 - Pour x = +5, on a : (-2) x (5) + 7 = -3
Donc passe par A.

Pour x = 2, -2 x 2 + 7 = 3
Donc passe par C.

4 -

donc cm

AB = AC : le triangle ABC est isocèle.

De plus , la droite (AC) a pour coefficient directeur -2 et la droite (AB) a pour coefficient directeur .
Donc -2 x = -1. Ces deux droites sont donc perpendiculaires et le triangle ABC est rectangle isocèle.

5 - et sont deux angles droits donc K et A sont sur le cercle de diamètre [BC] : A, B, C et K, sont tous sur le cercle de diamètre [BC].

E est le milieu de [BC] et donc :

EB est le rayon du cercle donc :

valeur approchée.

6 -

a) Voir figure de la question 1.

b) D a pour coordonnées :
x _D = x _C + 6 = 8
y _D = y _C + 3 = 6

c) : ABCD est un parallélogramme.
AB = AC : c'est un losange.
L'angle est un angle droit et donc : ABCD est un carré.

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