Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangle et rectangle

RLK est un triangle rectangle en R, avec RK = 6 cm et RD = 9 cm.
M est un point quelconque du côté [RK]. On pose RM = x (x en centimètres).
P est le point du segment [RL] tel que RP = RM = x.
On place alors le point N pour que RMNP soit un carré.

1) Dans cette question x = 2. On obtient la figure suivante (on remarque que le point N se trouve à l'intérieur du triangle RKL).

    a) Calculer l'aire du triangle RKL.

    b) Calculer l'aire A₁ du carré RMNP.
        Calculer l'aire B₁ du triangle KMN.
        Calculer l'aire C1 du triangle NPL.
        Calculer A1 + B₁ + C₁. Vérifier que l'aire du quadrilatère RKNL est inférieure à l'aire du triangle RKL.

2) Dans cette question x = 5

    a) Faire une figure précise.

    b) Où se trouve maintenant le point N par rapport au triangle RKL ?

    c) On appelle maintenant A₂ l'aire du carré RMNP, B₂ l'aire du triangle KMN et C₂ l'aire du triangle NPL.
        Calculer ces trois aires et vérifier que l'aire de RKNL est supérieure à celle du triangle RKL.

3) On prend maintenant x quelconque.

    a) Calculer l'aire A₃ du carré RMNP en fonction de x.
        Calculer l'aire B₃ du triangle KMN en fonction de x.
        Calculer l'aire C₃ du triangle NPL en fonction de x.

    b) Montrer que

    c) On cherche s'il existe une valeur x pour laquelle le point N se trouve sur le segment [KL]. Pour cela, résoudre l'équation obtenue en écrivant :
        A₃ + B₃ + C₃ = Aire du triangle RKL. Conclure.

4) a) Dans un repère orthogonal , représenter la fonction pour x compris entre 0 et 6.On prendra : en abscisses : 5 cm pour 3 unités, en ordonnées : 1 cm pour 3 unités.

    b) Résoudre graphiquement l'équation .
    Commenter.

1 a) Aire (RKL) = = 27 cm².

   b) A₁ = Aire (RMNP) = 2² = 4 cm²
       B₁= Aire (KMN) = = = 4 cm²
       C₁ = Aire (NPL) = = 7 cm²

       A₁+B₁+C₁ = 15 cm²
       Aire (RKNL) = 15 cm²
       Aire (RKL) = 27 cm²
       On a bien Aire (RKNL) Aire (RKL).

2 a) Voir figure:

   b) N se trouve à l'extérieur du triangle RKL.

   c) A₂ = 5² = 25 cm²
       B₂ = = cm² = 2,5 cm²
       C₂ = = 10 cm²
Aire (RKNL) = A₂+B₂+C₂ = 37,5 cm²
On a donc à présent:  Aire (RKNL) Aire (RKL)

3 a) A₃ = x²
       B₃ =
       C₃ =

   b) A₃+B₃+C₃ =

   c) A₃+B₃+C₃ = Aire (RKL) d'où:
       d'où :
      
Pour x=3,6 l'aire du quadrilatère RKNL est égale à l'aire du triangle RKL: le point N se trouve alors sur le segment [K,L].

4 a) voir figure :

    b) voir figure ci-dessus.
      La résolution graphique donne:
          pour x=3,6: on retrouve la solution précédente.

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