Le sujet 2002 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Questions enchaînées |
Construire un triangle MNP tel que :
PN = 13 cm ; PM = 5 cm ; MN = 12 cm.
Partie A :
1) Prouver que ce triangle MNP est rectangle en M.
2) Calculer son périmètre et son aire.
3) Tracer le cercle circonscrit au triangle MNP ; préciser la position de son centre O et la mesure de son rayon.
4) Calculer la tangente de l'angle PNM ; en déduire une mesure approchée de cet angle à 1° près.
Partie B :
A est un point quelconque du côté [PM].
On pose : AM = x (x est donc un nombre compris entre 0 et 5).
La parallèle à (PN) passant par A coupe le segment [MN] en B.
1) En précisant la propriété utilisée, exprimer MB et AB en fonction de x.
2) Exprimer, en fonction de x, le périmètre du triangle AMB.
3) Résoudre l'équation :
4) a - Faire une nouvelle figure en plaçant le point A de façon que le périmètre du triangle AMB soit 18 cm.
b - Quelle est alors l'aire du triangle AMB ?
Construction du triangle MNP
PN = 13 cm ; PM = 5 cm ; MN = 12 cm
Voir figure ci-dessous.
1) PN2 = 169
PM2 + MN2 = 25 + 144 = 169
Comme PN2 = PM2 + MN2 alors d'après la réciproque de la propriété de Pythagore on en conclut que le triangle MNP est rectangle en M.
2) Son périmètre est égal à 13 + 5 + 12 soit 30 cm.
Son aire est égale à soit 30 cm2.
3) Voir figure.
Le centre O du cercle circonscrit au triangle MNP est le milieu de son hypoténuse PN.
4) tan =
tan =
On en déduit que la mesure de cet angle à 1° près est de 22°.
PARTIE B
AM = x
1) En utilisant la propriété de Thalès on obtient:
On a donc d'où
et d'où
2) Le périmètre du triangle AMB est: AM + MB + AB soit
3)
5x + 12x + 13x = 90
30x = 90
d'où x = 3
4)
a) Voir figure
b) AM = 3 donc soit
L'aire du triangle AMB est donc égale à
soit 10,8 cm2
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