Le sujet 2006 - Bac 1ère L - Maths informatique - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet traite d'une situation qui peut être modélisée par
les suites numériques et qui peut-être traitée en utilisant un tableur. |
Exercice 2 (10 points)
Une enquête est réalisée dans un magasin, afin d'étudier
l'évolution du nombre mensuel de clients.
Au cours du premier mois, l'enquête montre que 5 000 clients sont venus
faire leurs achats dans ce magasin.
On constate que, chaque mois, par rapport au mois précédent, 70% des clients
restent fidèles à ce magasin et que 3 000 autres clients apparaissent.
Pour un entier naturel n non nul, on note un le nombre
de clients venus au cours du n-ième mois de l'enquête.
On a ainsi u1 = 8 000.
On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de la suite (un).
La feuille annexe reproduit la feuille de calcul utilisée.
Partie A
1. Calculer le nombre u2 de clients venus dans ce magasin au cours du deuxième mois.
2. Quelle est la formule à saisir dans la cellule B3, à recopier vers le bas, permettant de calculer les termes de la suite (un) ?
3. Quelle formule apparaît dans la cellule B4 lors de la recopie ?
4. Ecrire, dans le tableau de la feuille annexe à rendre avec la copie, les valeurs numériques obtenues dans les cellules B3 et B4.
5.
a. La suite (un) est-elle géométrique ?
Justifier la réponse.
b. La suite (un)
est-elle arithmétique ? Justifier la réponse.
Partie B
Le gérant du magasin suppose que l'évolution du nombre
mensuel de clients se poursuit suivant le modèle étudié dans la partie A.
Il se demande s'il peut prévoir d'atteindre 10 000 clients par mois.
Pour cela, dans la colonne C de la feuille de calcul précédente, il calcule
mensuellement la différence entre cette prévision et le nombre de clients ayant
fréquenté le magasin.
Pour un entier naturel n non nul, il note vn cette
différence au n-ième mois.
On a donc pour tout n entier naturel non nul : vn = 10 000
— un.
1.
a. Vérifier
que v1 = 2 000.
b. Quelle est
la formule à saisir dans la cellule C2, à recopier vers le bas, permettant de
calculer les termes de la suite (vn) ?
c. Vérifiez
que v2 = 1 400, v3 = 980 et v4
= 686.
2. Dans la
cellule D3, on a saisi la formule = C3/C2 et on l'a recopiée vers le bas.
a. Compléter
les valeurs numériques obtenues dans les cellules D3 et D4 du tableau de la
feuille annexe, à
rendre avec la copie.
b. Les trois premiers
termes de la suite (vn) sont-ils trois termes consécutifs
d'une suite géométrique ? Justifier la réponse.
3. On admet
désormais que (vn) est une suite décroissante et géométrique
de raison 0,7.
a. Donner
l'expression de vn en fonction de n.
b. Le gérant
estime que son objectif sera atteint lorsque vn sera
inférieur à 50. En utilisant la calculatrice, déterminer à partir de combien de
mois le nombre de clients satisfera cette condition.
Tableau avec valeurs numériques
|
A |
B |
C |
D |
1 |
n |
un |
vn |
|
2 |
1 |
8000 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
7 |
6 |
|
|
|
8 |
7 |
|
|
|
9 |
8 |
|
|
|
10 |
9 |
|
|
|
I - L'ANALYSE DU SUJET
Utilisation des suites numériques d'un tableur dans la gestion de l'évolution de la clientèle d'un magasin.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Suite arithmétique
● Suite géométrique
● Tableur Excel
III - LES DIFFICULTES DU SUJET
Le sujet ne permet pas de se rassurer au fur et à mesure. Rien n'indique si on a commis une erreur ou pas, et il faut donc être assez sûr de soi pour avancer en confiance.
IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Savoir reconnaître :
- une suite géométrique
- une suite arithmétique
● Utiliser Excel :
- Saisir une formule
- Recopier vers le bas
V - LES RESULTATS
Partie A
1. u2 = 8 600
2.
3.
4. Voir tableau
5.
a.
donc la suite n'est pas géométrique
b.
donc la suite n'est pas arithmétique
Partie B
1.
a. v1 = 2 000
b. = 10 000 — B2
c. v2 = 10 000 — u2
v2 = 1 400
v3 = 10 000 — u3 = 980
v4 = 10 000 — u4 = 686
2.
a. Voir tableau
b.
Les trois premiers termes sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique.
3.
a.
b. A partir du 12ème mois
VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
Partie A
1. u2 = 0,7 u1 + 3 000
u2 = 0,7 ´ 8 000 + 3 000
u2 = 8 600
2. Dans la cellule B3, tapez :
puis recopiez cette formule vers le bas
3. Apparaît dans la cellule B4 lors de la recopie la formule suivante :
4. Voir Annexe Exercice 2
5.
a. La suite (un) n'est pas géométrique car
En effet
et
b.
La suite (un) n'est pas arithmétique car
En effet u2 — u1 = 8 600 — 8 000 = 600
et u3 — u2 = 9 020 — 8 600 = 420
Tableau avec valeurs numériques
|
A |
B |
C |
D |
1 |
n |
un |
vn |
|
2 |
1 |
8 000 |
|
|
3 |
2 |
8 600 |
|
|
4 |
3 |
9 020 |
|
0,7 |
5 |
4 |
9 314 |
|
0,7 |
6 |
5 |
|
|
|
7 |
6 |
|
|
|
8 |
7 |
|
|
|
9 |
8 |
|
|
|
10 |
9 |
|
|
|
Partie B :
1. vn = 10 000 — un
a. v1
= 10 000 — u1
D'où, v1 = 10 000 — 8 000
v1 = 2 000
b. Dans la
cellule C2, tapez :
= 10 000 — B2
Puis recopiez cette formule vers le bas.
c. v2 =
10 000 — u2
v2 = 10 000 — 8 600
v2 = 1 400
v3 = 10 000 — u3
v3 = 10 000 — 9 020
v3 = 980
v4 = 10 000 — u4
v4 = 10 000 — 9 314
v4 = 686
2.
a.(voir feuille annexe)
En D3 :
En D4 :
b. Oui, les trois premiers termes de la suite ( vn ) sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique car :
et la raison est 0.7.
3.
a. vn = v1´ q n — 1 avec q =
0.7
b. Il faut trouver n pour que : 2 000 ´ 0.7 n — 1<50
A l'aide d'une calculatrice on obtient :
● pour n = 11 :
● pour n = 12 :
A partir du 12eme mois,vn
est inférieur à 50.