Le sujet 2007 - Bac 1ère L - Maths informatique - Exercice |
Avis du professeur :
On mobilise un modèle mathématique de suites numériques, ou utilise les outils informatiques (tableur) pour étudier l'évolution du nombre d'adhérents de la médiathèque. |
(10 points)
Les deux parties sont indépendantes.
Dans une médiathèque, la direction souhaite renouveler le stock disponible au prêt (notamment en cédéroms, DVD) et augmenter le parc informatique (avec accès Internet) mis à disposition du public. Une des solutions explorée pour trouver les moyens financiers permettant de répondre à cette demande est d'augmenter le nombre d'adhérents.
Partie 1 : Étude de l'évolution du nombre d'adhérents
Dans un premier temps, on étudie l'évolution du nombre
d'adhérents en fonction du temps. On appelle u0 le nombre
d'adhérents pour l'année 2000 et un le nombre d'adhérents
pour l'année (2000 + n).
Le tableau et le graphique ci-dessous représentent l'évolution du nombre
d'adhérents entre 2000 et 2006.
|
A |
B |
C |
D |
1 |
Année |
n |
un |
|
2 |
2000 |
0 |
210 |
15 |
3 |
2001 |
1 |
225 |
|
4 |
2002 |
2 |
|
|
5 |
2003 |
3 |
|
|
6 |
2004 |
4 |
|
|
7 |
2005 |
5 |
|
|
8 |
2006 |
6 |
300 |
|
9 |
2007 |
7 |
|
|
10 |
2008 |
8 |
|
|
1) D'après le graphique, à quel type de croissance, la suite (un) correspond-elle ?
2) On remarque que la suite (un)
est une suite arithmétique de raison 15 et de premier terme u0 = 210.
a) Calculer u2.
b) Exprimer un+1 en fonction de un.
c) Exprimer un en fonction de n et de u0.
3) Dans la cellule D2, on a placé la raison de la
suite.
a) Quelle formule a-t-on pu écrire dans la cellule C4, en utilisant la
cellule D2, puis recopier vers le bas jusqu'en C10, pour calculer les termes de
la suite ?
b) Si ce modèle de croissance est valable jusqu'en 2008, quel sera le
nombre d'adhérents en 2008 ?
PARTIE 2 : Prévisions d'une étude marketing
La direction décide de diminuer légèrement les tarifs d'adhésion afin de favoriser encore l'augmentation du nombre d'adhérents. Une étude marketing estime qu'avec ces nouveaux tarifs, le nombre d'adhérents augmentera de 5% par an après 2006. On appelle v0, le nombre d'adhérents après 2006 et vn, le nombre d'adhérents en (2006 + n).
|
A |
B |
C |
1 |
Année |
n |
vn |
2 |
2006 |
0 |
300 |
3 |
2007 |
1 |
|
4 |
2008 |
2 |
|
5 |
2009 |
3 |
|
6 |
2010 |
4 |
|
7 |
2011 |
5 |
|
8 |
2012 |
6 |
402 |
1) a) Calculer v1 , v2. Donner
les arrondis à l'unité de ces valeurs.
b) A quel type de croissance, la suite (vn)
correspond-elle ?
c) Préciser la nature et la raison de la suite (vn).
d) Montrer que, pour tout entier naturel n, vn = 300 (1,05)n.
2) Quelle formule peut-on utiliser dans la cellule C3, puis recopier vers le bas jusqu'en C8 pour calculer le nombre d'adhérents prévisionnel ?
3) Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre
d'adhérents entre 2006 et 2012.
PARTIE 1
1. Soit u0 le nombre d'adhérents pour
l'année 2000 et un le nombre d'adhérents pour
l'année 2000 + n.
Sur le graphique, on constate que les points qui représentent le nombre
d'adhérents selon les années, sont alignés, il s'agit donc d'une croissance linéaire.
2. (un) est une suite arithmétique avec r, sa raison égale à 15 et son premier terme u0 = 210
a) on a :
u2 = u0 + 2r
u2 = 210 + 2 × 15 = 210 + 30 = 240
u2 = 240
b) On sait que, puisque (un) est une suite
arithmétique, on a :
un+1 = un + r
d'où ici : un + 1 = un
+ 15 (avec n Є N)
c) On sait aussi que :
un = u0 + n.r (avec n Є N)
et donc :
un = u0 + 15n
(avec n Є N)
3.
a) On a pu écrire
= C3 + $D2$
b. Le nombre d'adhérents en 2008 est égal à u8
soit u8 = u0 + 15 × 8 = 210 + 120 = 330
En 2008, il y aura 330 adhérents
PARTIE 2
Soit V0 le nombre d'adhérents en 2006
Vn en 2006 + n
1.
a) V1 = 1,05V0 = 1,05 × 300
V1 = 315
V2 = 1,05V1 = 1,05 × 315 = 331
V2 = 331 (à
une unité près)
b) Il s'agit d'une croissance exponentielle
c) On a :
Vn = 1,05Vn-1 (avec n Є
N*)
donc (Vn) est une suite géométrique
de premier terme V0 = 300 et de raison q = 1,05
d) On a donc
Vn = V0 × qn (avec n Є N)
et donc Vn = 300 × (1,05)n
(avec n Є N)
2. On pourra utiliser la formule
= 1,05 × C2
3. En 2012, il y aura 402 adhérents
soit une augmentation de 34%