Annales gratuites Bac S : Terre machine thermique

Les parties 1 et 2 sont indépendantes

1. Transfert thermique et radioactivité du globe terrestre.
Dès l'Antiquité, les premiers mineurs ont constaté que la température du sol augmente avec la profondeur. L'intérieur de la Terre est donc chaud. Comme le transfert thermique a toujours lieu des corps chauds vers les corps froids, il y a une fuite constante d'énergie de la Terre vers l'espace. Vers 1860, Lord Kelvin avait calculé le temps mis par le globe terrestre pour se refroidir complètement, à partir de la perte d'énergie constatée : quelques centaines de millions d'années au plus. Or la Terre est beaucoup plus vieille, et elle n'est pas froide. L'énergie qui s'échappe est donc, pour une grande part, produite par la Terre elle-même. C'est la radioactivité naturelle qui est à l'origine de l'essentiel de cette énergie. Toutes les couches de la Terre contiennent de l'uranium, du thorium et du potassium 40. Ces noyaux radioactifs produisent de l'énergie en se désintégrant.

D'après "Enseigner la géologie" Editions Nathan.

Données :
À l'état naturel, il existe trois isotopes du potassium : les isotopes 39, 40 et 41. Le potassium 40 est radioactif et se transforme en argon 40

1.1. Le potassium 40 et le diagramme (N, Z).
Les noyaux dont le numéro atomique Z ≤ 20 et tels que le nombre de neutrons N = Z sont stables (sauf exceptions).
1.1.1. Sur la figure représentée en Annexe page 12, tracer la droite sur laquelle se situent ces noyaux stables.
1.1.2. Placer sur le diagramme (N, Z) les positions respectives des noyaux de potassium 40 et de calcium 40. A partir de ces positions, indiquer lesquels de ces noyaux sont stables ou instables.
1.1.3. Ecrire l'équation de la désintégration du potassium 40 en calcium 40 en précisant les lois de conservation utilisées. Déterminer le type de radioactivité correspondant à cette désintégration.

1.2. Autre désintégration du potassium 40.
Le potassium 40 peut également se désintégrer en argon 40 selon l'équation

1.2.1. Quel est le type de radioactivité correspondant à cette désintégration ? 
1.2.2.  Déterminer la valeur de l'énergie libérée lors de cette désintégration ; exprimer le résultat en joules et en mégaélectronvolts (MeV).

2. Evolution temporelle et dynamique interne du globe terrestre.
L'énergie thermique produite par le globe terrestre est évacuée par des courants de convection dans le manteau qui se traduisent en surface par la tectonique des plaques. Le nombre de noyaux radioactifs diminue régulièrement au cours du temps, par simple décroissance radioactive. Par exemple, la quantité d'uranium 238 présente dans la Terre diminue de moitié tous les 4,5 milliards d'années, Mais la diminution du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau s'est intensifiée il y a environ deux milliards d'années, à l'époque où s'est formée la majorité du matériel continental de la croûte terrestre. En effet, celui-ci intégra, au fur et à mesure de sa formation, une quantité croissante d'uranium, thorium et potassium, appauvrissant ainsi le manteau en noyaux radioactifs.

D'après "Enseigner la géologie" Editions Nathan

2.1. Choisir le ou les adjectif(s) relatif(s) à la désintégration d'un noyau radioactif donné :
a) prévisible dans le temps            b) spontanée            c) aléatoire

2.2. "Le nombre de noyaux radioactifs ...diminue ... par simple décroissance radioactive".
On s'intéresse à une espèce de noyaux radioactifs. On note N le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant t₁ et N₀ le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant t_o choisi comme origine des dates. Soit λ la constante radioactive de l'ensemble des noyaux considérés.

2.2.1. Donner l'expression de la loi de décroissance radioactive du nombre de noyaux N au cours du temps. Rappeler l'unité de la constante radioactive λ dans les unités du Système International.
2.2.2. Tracer l'allure de la courbe représentant les variations du nombre de noyaux N au cours du temps. Placer quelques points remarquables (au moins deux points).
2.2.3. A quel instant la décroissance radioactive est-elle la plus rapide ? Justifier à partir du graphique tracé.

2.3. Déterminer, en utilisant le texte, la durée au bout de laquelle les trois quarts des noyaux d'uranium 238 présents aujourd'hui auront disparu par désintégration.

2.4. Choisir la proposition correcte en justifiant par une courte phrase issue en partie du texte introduisant cette partie 2.
La croissance des continents explique :
a) l'augmentation du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau
b) une diminution plus rapide du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau
c) la décroissance radioactive par désintégration de l'uranium dans le manteau.

ANNEXE DE L'EXERCICE III

I - LES RESULTATS

1.1.1. C'est la droite y = x

1.1.2. est stable
est instable.

1.1.3. Lois de conservation :
Conservation du nombre de masse et du nombre de charge

Radioactivité

1.2.1. Radioactivité

1.2.2. E = (m_av − m_ap).c²  1,6.10^-13 J  1,0 MeV.

2.1. La désintégration est spontanée (réponse b) et aléatoire (réponse c).

2.2.1.

 s'exprime en s^-1

2.2.2.

2.2.3. C'est au départ que la décroissance est la plus rapide (pente de la tangente maximale).

2.3. Il faut attendre 2 périodes de demi-vie pour que  des noyaux radioactifs présents aujourd'hui aient disparu, soit 9 milliards d'années.

2.4. Réponse b).
Justification : "Mais la diminution du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau s'est intensifiée...".

II - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.1.1. Les noyaux sont stables si N = Z, donc s'ils sont situés sur la droite d'équation y = x.

1.1.2. La position de est le point de coordonnées (19;21).
La position de est le point de coordonnées (20;20).
-> On trouve l'ordonnée des points par soustraction : N = A — Z.
Le point (19;21) n'est pas sur la droite tracée, donc est instable.
Le point (20;20) est sur la droite tracée donc est stable.

1.1.3.

Il y a conservation globale du nombre de masse et du nombre de charge, donc :

La particule X est donc un électron.

C'est une radioactivité.
-> La présence du rayonnement  est facultative dans l'équation.

1.2.1. La particule  est un positon. Il s'agit donc d'une radioactivité.

1.2.2. D'après Einstein :

AN : E = [6,636182.10^-26 — (6,635913.10^-26 + 9,1.10^-31)] x (3,0.10⁸)²
           1,6.10^-13 J
           1,0 MeV
-> Pour convertir en eV, on divise par 1,6 x 10-19 ; puis on passe en MeV.

2.1. D'après le cours on sait que la désintégration d'un noyau radioactif est spontanée et aléatoire. Il fallait donc choisir les réponses b) et c).
-> Les réponses a) et c) s'excluent mutuellement.

2.2.1.

 s'exprime en s^-1

2.2.2.

-> L'ordonnée des points de la courbe diminue d'un facteur 2 à chaque fois qu'il s'écoule la durée t½_.

2.2.3. C'est dans les premiers instants que la décroissance est la plus rapide.
En effet, c'est au début que les pentes des tangentes ont les plus grandes valeurs absolues.

2.3. Pour que les trois quarts des noyaux d'uranium 238 présents aujourd'hui aient disparu, il faut que N₀ ait été divisé par 4 = 2². Il faut donc attendre 2 fois la durée de demi-vie. C'est à dire 4,5 x 2 = 9 milliards d'années.

2.4. La réponse b) est correcte.
En effet, d'après le texte "La diminution du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau s'est intensifiée...".

III - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Connaître la signification du symbole  et donner la composition du noyau correspondant.
● Définir l'isotopie et reconnaître des isotopes. Reconnaître les domaines de stabilité et d'instabilité des noyaux sur un diagramme (N, Z).
● Définir un noyau radioactif.
● Connaître et utiliser les lois de conservation.
● Définir la radioactivité a,b-,b+, l'émission  et écrire l'équation d'une réaction nucléaire pour une émission a,b- ou b+ en appliquant les lois de conservation.
● A partir de l'équation d'une réaction nucléaire, reconnaître le type de radioactivité.
● Connaître l'expression de la loi de décroissance et exploiter la courbe de décroissance.
● Connaître la définition de la constante de temps et du temps de demi-vie.
● Utiliser les relations entre t, l et t_1/2.
● Définir et calculer un défaut de masse et une énergie de liaison.
● Savoir convertir des J en eV et réciproquement.
● Connaître la relation d'équivalence masse-énergie et calculer une énergie de masse.
● A partir de l'équation d'une réaction nucléaire, reconnaître le type de réaction.
● Faire le bilan énergétique d'une réaction nucléaire en comparant les énergies de masse.

IV - LES DELIMITATIONS DE L'EXERCICE

Le titre de cet exercice "La Terre, une machine thermique" ne devrait pas vous avoir provoqué de surchauffe. Malgré un titre qui n'annonce pas explicitement la partie de programme concernée, il se révèle tout à fait abordable. Il consiste en fait en une étude qualitative puis quantitative de la désintégration de certains éléments radioactifs contenus dans le globe terrestre. De façon classique, après avoir discuté de la stabilité des noyaux et écrit quelques équations nucléaires, on calcule une énergie libérée lors d'une désintégration puis on termine par une étude succincte de la loi de décroissance radioactive.
Cet exercice couvre largement la partie de programme sur le nucléaire. C'est un exercice bien "équilibré" qui comporte juste ce qu'il faut de calcul tout en demandant du bon sens. Le contexte choisi (la Terre) en fait un exercice des plus intéressants.