Annales gratuites Bac S : Céramique et ultrasons

CERAMIQUE ET ULTRASONS (4 points)

Les ultrasons sont utilisés dans de nombreux domaines de la vie courante : échographie, détecteurs de présence dans les alarmes, etc. Les émetteurs et les récepteurs d'ultrasons sont fréquemment constitués de céramiques piézoélectriques.

Les parties 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes.

1. Emission et propagation de l'onde ultrasonore produite par une céramique piézoélectrique
Lorsqu'on applique une tension sinusoïdale d'amplitude suffisante et de fréquence appropriée entre les deux faces métallisées et opposées d'une céramique piézoélectrique, elle se met à vibrer. Lorsque la céramique entre en résonance, elle émet des ultrasons.
La fréquence des ultrasons émis est égale à la fréquence de vibration de la céramique émettrice.

1.1. Propagation des ondes ultrasonores
On réalise le montage schématisé figure 7 ci-dessous. Le récepteur, constitué d'une céramique réceptrice, est placé à une distance d, face à la céramique émettrice.
Une tension de même fréquence que les ultrasons reçus apparaît aux bornes de la céramique réceptrice. On visualise cette tension sur la voie A d'un oscilloscope. L'oscillogramme obtenu est représenté sur la figure 8 ci-dessous. Le coefficient de balayage est égal à 10 µs/div et la sensibilité verticale à 0,2 V/div.
On rappelle que la célérité des ultrasons dans l'air est v_air = 340 m.s^-1 dans les conditions de l'expérience.

1.1.1. Déterminer la période T et la fréquence f de la tension observée à l'oscilloscope.
1.1.2. En déduire la fréquence des f_u ultrasons. Justifier.
1.1.3. Donner l'expression littérale puis la valeur de la longueur d'onde l des ultrasons dans l'air.

1.2. Résonance de la céramique émettrice
Pour une valeur appropriée de la fréquence de la tension sinusoïdale appliquée, son amplitude restant constante, la céramique émettrice entre en résonance. La tension sinusoïdale joue alors le rôle d'un excitateur et la céramique celui d'un résonateur.
1.2.1. Que peut-on dire de la valeur de la fréquence de la tension excitatrice à la résonance ?
1.2.2. Décrire qualitativement le phénomène de résonance en ce qui concerne l'amplitude de vibration de la céramique.

2. Oscillations libres dans un circuit RCL série
Pour étudier les conditions d'obtention d'oscillations électriques libres à la fréquence propre f_o = 40 kHz, on réalise le circuit schématisé figure 9 ci-dessous. Un oscilloscope à mémoire permet d'enregistrer la tension aux bornes du condensateur. L'oscillogramme est représenté sur la figure 10 ci-dessous.
La bobine a une inductance de valeur L = 1,0 mH ; R est la résistance totale du circuit. Le condensateur est initialement chargé sous une tension U_c = 4,0 V.
A l'instant de date t = 0 s, on ferme l'interrupteur K.

2.1. Comment appelle-t-on le type de régime correspondant à la figure 10 ?

2.2. Interpréter en termes d'énergie l'amortissement des oscillations, que l'on observe.

2.3. Comment peut-on éviter l'amortissement des oscillations, sachant que la résistance du circuit ne peut être nulle ?

2.4. Dire si les affirmations ci-dessous concernant les oscillations libres d'un dipôle RLC sont vraies ou fausse. Commentez brièvement.
AFFIRMATION 1 : En augmentant la résistance R d'un dipôle RLC on observera toujours des oscillations amorties.
AFFIRMATION 2 : la valeur de la période propre d'un dipôle RLC dépend de la charge initiale du condensateur.

2.5. Détermination de la capacité d'un condensateur
Dans le cas étudié, l'amortissement est assez faible pour pouvoir confondre la pseudo période du dipôle RLC avec la période propre T_o du dipôle LC (L et C ayant les mêmes valeurs respectives dans les deux cas).
2.5.1. On considère le circuit LC représenté à la figure 11 ci-dessous.L'interrupteur K est ouvert et la tension aux bornes du condensateur est égale à U_o. A l'instant de date t = 0 s_, on ferme l'interrupteur K.
Après avoir établi l'expression de l'intensité i du courant en fonction de la tension u_c montrer que l'équation différentielle vérifiée par la tension u_c(t) aux bornes du condensateur est :

2.5.2. La solution de cette équation différentielle peut s'écrire

En déduire, en utilisant l'équation différentielle, l'expression littérale de la période propre T₀ du circuit.
2.5.3. Calculer la valeur à donner à la capacité C du condensateur de manière à obtenir des oscillations à la fréquence f₀ = 40 kHz.

I - LES RESULTATS

1.1.1.

T = 25 µs

f = 40 kHz

1.1.2.

fu = 40 kHz

1.1.3.

λ = v_air x T

λ = 8,5 mm

1.2.1. C'est la fréquence propre du résonateur.

1.2.2. L'amplitude passe par un maximum à la résonance.

2.1. Régime pseudo périodique.

2.2. L'amortissement traduit des pertes par effet Joule sous forme d'énergie thermique.

2.3. On peut utiliser un montage à résistance négative.

2.4.
AFFIRMATION 1 : Fausse
AFFIRMATION 2 : Fausse

2.5.1.

L'équation différentielle vient de la loi des mailles.

2.5.2.

2.5.3.

C ≈ 16 nF

II- LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.1.1. La période de tension s'étale sur 2,5 divisions, or le coefficient de balayage est
10 µs/div. Donc T = 2,5 × 10 × 10 ^-6s

Soit T = 25 µS

 C'est une mesure graphique qu'il est préférable de faire sur 2 périodes pour gagner en précision.

La fréquence est l'inverse de la période.

Soit f = 4,0 × 104 Hz

1.1.2. D'après l'énoncé : "Une tension de même fréquence que les ultrasons reçus apparaît aux bornes de la céramique réceptrice".

Donc fn = f = 4,0 × 104 Hz

 La citation du texte était attendue.
 40 000 Hz correspond bien à une onde ultrason.

1.1.3. On a l = v_air × T
Soit l = v_air × T
Soit l = 340 × 25 × 10^-6 = 8,5×10^-3m

Soit λ = 8,5 mm

1.2.1. La valeur de la fréquence de la tension excitatrice à la résonance est égale à la fréquence propre du résonateur (fréquence d'oscillation libre).

 C'est une propriété importante du phénomène de résonance.

1.2.2. A la résonance, l'amplitude de la vibration de la céramique passe par un maximum.

 C'est la définition de la résonance.

2.1. Il s'agit d'un régime pseudopériodique.

 Il correspond au cas "faiblement amorti".

2.2. A chaque échange entre l'énergie électrique du condensateur et l'énergie magnétique de la bobine, une partie d'énergie est convertie en énergie thermique par effet joule dans la résistance.

2.3. Puisqu'on ne peut pas annuler la résistance, il faut utiliser un dispositif qui compense les pertes. On peut pour cela utiliser un montage à "résistance négative".

 C'est un montage difficile qui n'était pas demandé.

2.4. AFFIRMATION 1 : Fausse
A partir d'une certaine valeur de résistance on atteint le régime critique puis surcritique (ou apériodique), pour lesquels il n'y a plus d'oscillation.

AFFIRMATION 2 : Fausse
Cette période ne dépend que de l'inductance L et la capacité C.

 L'affirmation 1 est subtile à comprendre, car un raisonnement trop rapide peut conduire à répondre "Vraie".

2.5.1. Sur le schéma de la figure 11, i et uc sont en convention récepteur et donc

D'après la loi des mailles u_C + u_L = 0

soit

2.5.2. La solution donnée doit vérifier l'équation différentielle :

 C'est une démonstration de cours.

2.5.3.
 et

donc

soit

d'où C ≈ 16 nF.

 C'est une valeur cohérente pour une capacité.

III - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Connaître et exploiter les propriétés générales des ondes.
● Exploiter un document expérimental (oscillogrammes, acquisition de données avec un ordinateur…) obtenu à partir de capteurs délivrant un signal lié à la perturbation et donnant l'évolution temporelle de la perturbation en un point donné : interprétation, mesure d'un retard, calcul d'une célérité, calcul d'une distance.
● Notion d'onde progressive périodique.
● Périodicité temporelle, période ; périodicité spatiale.
● Onde progressive sinusoïdale, période, fréquence, longueur d'onde ; relation l = vT = v/l.
● Reconnaître une onde progressive périodique et sa période.
● Définir pour une onde progressive sinusoïdale, la période, la fréquence, la longueur d'onde.
● Connaître et utiliser la relation l =v T, connaître la signification et l'unité de chaque terme, savoir justifier cette relation par une équation aux dimensions.
● Exploiter un document expérimental (série de photos, oscillogramme, acquisition de données avec un ordinateur…) : détermination de la période, de la fréquence, de la longueur d'onde.
● Algébrisation en convention récepteur i, u, q.
● Relation charge-intensité pour un condensateur i = dq/dt, q charge du condensateur en convention récepteur.
● Connaître les relations charge-intensité et charge-tension pour un condensateur en convention récepteur.
● Décharge oscillante d'un condensateur dans une bobine. Influence de l'amortissement : régimes périodique, pseudo-périodique, apériodique.
● Période propre et pseudo-période.
● Interprétation énergétique : transfert d'énergie entre le condensateur et la bobine, effet Joule.
● Expression de la période propre.
● Entretien des oscillations.
● Définir et reconnaître les régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique.
● Connaître l'expression de la période propre, la signification de chacun des termes et leur unité.
● Savoir que le dispositif qui entretient les oscillations fournit l'énergie évacuée par transfert thermique.
● Savoir interpréter en terme d'énergie les régimes périodique, pseudo-périodique, apériodique et entretenu.
● Savoir exploiter un document expérimental pour :
    - montrer l'influence de R et de L ou C sur le phénomène d'oscillations
    - déterminer une pseudo-période

IV - LES DELIMITATIONS DE L'EXERCICE

Derrière ce titre "Céramique et ultrasons", un peu intrigant, vous avez dû vous apercevoir que l'exercice ne présentait pas de grande difficulté pour celui qui connaît bien son cours.
L'exercice commence par vous faire faire une détermination graphique simple ainsi qu'un tour d'horizon des notions de base sur les ondes (période, fréquence...).
La difficulté augmente un peu avec l'étude du phénomène de résonance mais les questions restent qualitatives.
Dans un deuxième temps, l'exercice passe à une autre partie du programme : le dipôle RLC.
Là encore les questions restent qualitatives, mais presque toutes les notions du cours sont nécessaires pour répondre correctement.
Enfin arrive la partie la plus calculatoire avec l'étude du dipôle RL, vu comme cas particulier du RLC lorsque R est négligeable. Les deux "gros" calculs demandés étaient des démonstrations de cours.