Annales gratuites Bac S : Modélisation d'une alarme

Un élève, dans le cadre de travaux personnels, souhaite étudier un système d'alarme.
Après avoir modélisé la mise sous tension du circuit de commande de la sirène (première partie de l'exercice), il cherche à savoir si des phénomènes inductifs peuvent provoquer le déclenchement intempestif de la sirène (deuxième partie de l'exercice).

Après avoir mis sous tension l'alarme d'un appartement, il faut pouvoir disposer d'une durée suffisante pour sortir sans la déclencher. Pour cela certains dispositifs utilisent la charge et la décharge d'un condensateur.
Le circuit est alimenté par une batterie d'accumulateurs de force électromotrice (f.e.m.) E.

Le schéma simplifié de l'alarme est le suivant.

La mise sous tension de l'alarme correspond à la fermeture de l'interrupteur (K).
Le circuit de commande de la sirène est tel qu'à la fermeture de la porte de l'appartement, le condensateur est mis en court-circuit (ses armatures sont alors reliées par un fil conducteur non représenté sur le schéma).

1. Etude de la charge du condensateur dans le circuit RC
Pour étudier la charge du condensateur de capacité C, l'élève visualise la tension u_AB = f(t) à ses bornes à l'aide d'une interface reliée à un ordinateur. Le circuit de commande de la sirène n 'est pas relié au condensateur lors de cette expérience.
L'acquisition commence lors de la fermeture de l'interrupteur (K), le condensateur étant préalablement déchargé.
L'élève obtient la courbe u_AB = f(t) représentée sur la figure 2

1.1. Indiquer sur la Figure 1 les branchements de l'interface pour visualiser u_AB = f(t).
L'entrée et la masse de l'interface sont respectivement équivalents à une voie Y et à la masse d'un oscilloscope.
1.2. En utilisant une méthode au choix, déterminer, à partir de la courbe u_AB = f(t) (Figure 2), la constante de temps t de ce circuit. La construction qui permet sa détermination doit figurer sur la courbe.
1.3. Donner l'expression de la constante de temps t en fonction des caractéristiques du circuit et vérifier par le calcul la valeur trouvée à la question 1.2.

2. Déclenchement de l'alarme
Ce circuit commande une sirène (voir Schéma I) qui se déclenche dès que la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur de 8 V.
2.1. À l'aide de la courbe u_AB = f(t) donnée Figure 2, déterminer la durée D t dont dispose l'habitant pour quitter l'appartement et fermer la porte, en indiquant clairement cette durée sur le graphe.
2.2. Expliquer pourquoi le fait de fermer la porte empêche l'alarme de se déclencher.

Des phénomènes inductifs peuvent apparaître dans le circuit.
Celui-ci est alors analogue à un circuit RLC série. Pour comprendre l'influence de l'inductance l'élève réalise, au laboratoire, le montage ci-contre, avec les composants dont les caractéristiques sont données au schéma 2.

L'élève enregistre comme dans la première partie de l'exercice la tension u_AB = f(t) aux bornes du condensateur, pour deux valeurs de résistance R₁ = 160 W et R₂ = 2,4 kW . Il obtient les courbes a et b ci-dessous.

1. Donner les noms des régimes associés aux courbes a et b. Indiquer pour chacun d'eux la valeur donnée à la résistance R, en précisant la raison de ce choix.
Pour étudier les régimes de charge du condensateur, on appliquera les mêmes conclusions que dans le cas de la décharge du condensateur en série avec une bobine et une résistance.
2. À partir de ces courbes, montrer que l'intensité du courant dans le circuit s'annule au bout d'une durée suffisamment longue.
3. En appliquant la loi des tensions, trouver la valeur finale de la tension u_AB.
4. Quel inconvénient présenterait le régime associé à la courbe (a) si cette modélisation correspondait au circuit de déclenchement de l'alarme précédente ?
5. Dans un circuit de capacité C, d'inductance L et de résistance R, on évite les oscillations si la condition suivante est vérifiée : . La valeur de l'inductance dans le circuit d'alarme est
supposée inférieure à 1 mH.

Dire, en justifiant la réponse, si des oscillations peuvent apparaître dans le circuit d'alarme étudié dans la première partie, immédiatement après la fermeture de l'interrupteur K.

Exercice 1

1.1. voir Figure 1

1.2. Détermination de la constante de temps :
1^ère méthode : t = abscisse du point d'intersection entre la tangente à u_AB = f(t), en t = 0, et l'asymptote horizontale de la courbe.
2^ème méthode : t  = abscisse du point d'ordonnée u_AB(t ) »  0,63 ´  u_ABmax »  5,67V (»  5,7V)
or 2cm «  60s
donc 1,7 cm «   soit t  »  51s
1.3. t  = RC = 47 ´  10³ ´  1,1 ´  10³ ´  10^-6 soit t  »  52s
cette valeur est compatible avec celle trouvée graphiquement (donc peu précise) à la question 1.2.

2.1. Le point de la courbe d'ordonnée 8V a pour abscisse 117 secondes. L'habitant dispose donc de D t »  117s pour quitter l'appartement.
2.2. En fermant la porte, le condensateur est mis en court-circuit donc la tension à ses bornes est ramenée à 0V. Comme cette tension ne peut plus atteindre 8V, l'alarme ne peut se déclencher.

1. Courbe a : régime pseudo-périodique. La résistance est la plus faible : R₁ = 160W .
Courbe b : régime apériodique (ou surcritique). La résistance est la plus grande. R₂ = 2,4kW .

2. Dans les deux cas, au bout d'environ 4ms, la pente de la tangente à la courbe devient nulle et le reste.
Or , donc on peut dire qu'au bout d'environ 4ms, l'intensité du courant devient nulle.

3. Loi des tensions (1)
Or, u_R = R.i donc lorsque i = 0, u_R = 0V
et donc, lorsque i = 0, u_L = 0V.
D'après (1) .
A la fin, i = 0 ce qui implique que
donc la valeur finale de U_AB est .

4. Dans le cas (a), l'alarme commencerait à se déclencher par intermittence avant de rester déclenchée car u_AB franchit plusieurs fois, dans les deux sens, le seuil de 8V.

5. Vérifions si avec
C = 1,1 ´  10³ m F
L = 1mH
R = 47kW

Comme 25 000 >> 1, on peut dire que l'on évite toute oscillation.