Annales gratuites Bac S : Courbe paramétrée

Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct .

On prendra 4 cm comme unité sur les deux axes.

On considère l’application F du plan dans lui-même qui, à tout point m, d’affixe z, associe le point M d’affixe .

L’objet de cet exercice est de tracer la courbedécrite par M lorsque m décrit le cercle C de centre O et de rayon 1.

Soit t un réel de et m le point de C d’affixe .


1. Montrer que l’image M de m par F est le point de coordonnées



Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe .


2. Comparer et d’une part, et d’autre part.

En déduire que admet un axe de symétrie que l’on précisera.


3. Montrer que . Etudier les variations de .


4. Montrer que . Etudier les variations de .


5. Dans un même tableau faire figurer les variations de x et y sur .

6. Placer les points de correspondant aux valeurs du paramètre t et tracer les tangentes en ces points (on admettra que pour , la tangente à est horizontale). Tracer la partie de obtenue lorsque puis tracer complètement.

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

Tracé d’une courbe paramétrée.


II - DEVELOPPEMENT.

1. Notons Z l’affixe de M : ,

x(t) et y(t) sont respectivement les parties réelle et imaginaire de Z et donc :




2. La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire, donc : x(-t) = x(t) ; y(-t) = -y(t).

M(-t) est donc le symétrique de M(t) par rapport Ox :
G admet Ox pour axe de symétrie.


3.


La fonction est croissante sur [0 ; ], d’où le tableau :



4.

5.



6.






III - COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

Cet exercice nécéssitait une bonne maîtrise des fonctions trigonométriques, en particulier pour le signe des dérivées et les tableaux de variation.

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