Annales gratuites Bac S : Station service

Dans tout l'exercice, A et B étant deux événements, P(A) désigne la probabilité de A ; p(B/A) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité : p_i = P(X = i)

i	0	1	2
pi	0,1	0,5	0,4

 

a) Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.

b) Calculer l'espérance mathématique de X.

2. Dans cette station-service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est 0,7 ; celle qu'il achète du gazole est 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considère les événements suivants :

C₁ : "en cinq minutes, un seul client se présente" ;

C₂ : "en cinq minutes, deux clients se présentent" ;

E : "en cinq minutes, un seul client achète de l'essence".

a) Calculer P(C₁ Ç E).

b) Montrer que P(E/C₂ ) = 0,42 et calculer P(C₂ Ç E).

c) En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'essence.

3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de Y.

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET

Utilisation des probabilités pour réaliser une étude de marché .


II - DEVELOPPEMENT

1.

a) Soit f la fonction de répartition.

on a : si x , f(x) = 0

si x , f (x) = 0, 1

si x , f (x) = 0, 6

si x , f (x) = 1



b) Espérance mathématique

E (X) = 0 ´ 0, 1 + 1 ´ 0,5 + 2 ´ 0,4
= 0, 5 + 0, 8
= 1, 3

2.

a) P (E / C₁) = 0, 7
On a donc P (C₁ E) = P (E / C₁) ´ P (C₁)
= 0, 7 ´ 0, 5
= 0, 35

b) P (E / C₂) = 0, 7 ´ 0, 3 ´ 2
= 0, 42

D'où P (C₂ E) = P (E / C₂) ´ P (C₂)
= 0, 42 ´0, 4
= 0, 168

c) D'où P (E) = P (C₁ E) + P (C₂ E)
= 0, 35 + 0, 168
= 0, 518

3. Loi de probabilité de Y
P (Y = 1) = 0, 518
P (Y = 2) = 0, 4 ´ 0, 7² = 0, 196
 ( 2 clients se présentent et achètent tous les deux de l'essence )

on en déduit :
P (Y = 0) = 1 - [ P(Y = 1) + P (Y = 2) ]
= 1 - (0,518 + 0, 196)
= 0, 286


III - COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

Un exercice difficile à interpréter correctement.

Un arbre des événements pouvait rendre ici de grands services.

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