Exercice 1 :

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A :

On considère l’équation différentielle (E) :.

1. Montrer que la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par est une solution de l’équation différentielle (E).

2. On considère l’équation différentielle (E’) : . Résoudre l’équation différentielle (E’).

3. Soit une fonction définie et dérivable sur. Montrer que la fonction`est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonctionest une solution de l’équation différentielle (E’).

4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).

5. Déterminer l’inique solutionde l’équation différentielle (E) telle que .

Partie B :

On considère la fonction définie sur l’ensembledes nombres réels par où est un nombre réel donné.
On note d’abscisse. Montrer que le point appartient à la courbed’équation.

1. Monter que la fonction admet un maximum en .

2. On note le point de la courbe d’abscisse . Monter que le point appartient à la courbe d’équation .

3. Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas.

Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :

La courbed’équation ;

La courbed’équationpour un certain nombre réel donné.

1. Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie).

2. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.

4. A l’aide d’une intégration par parties, calculer. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

Annexe 1 (Exercice 1) (à rendre avec la copie)

Exercice 1

I) Interet :

A partir d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1, que l’on résout, ou étudie une solution particulière, sa courbe et une intégrale.

II) Savoirs et savoir-faire :

• Equations différentielles : cas général ; équation du type :

• Fonctions usuelles, fonction exponentielle : dérivation ; sens de variation ; représentation graphique (lecture et interprétation).

• Intégration par parties.

III) Résultats

Partie A

1. est une solution de (E)

2. Solutions de (E’) : les fonctions ,

3. est solution de (E) si et seulement si est solution de (E’)

4. Solutions de (E) : les fonctions

5. 

Partie B

1)

s’annule et change de signe en , admet un minimum en

2) Pour tout réel  :

3) a) est la courbe ayant un sommet

b) et le premier tiret correspond à la graduation 1 sur chaque axe.

4)  ; interprétation graphique : cette intégrale est l’aire, en unité d’aire, de la surface délimitée par , les axes et la droite d’équation .

iV) Développement

Partie A : (E) :

1. est dérivable sur , comme composée et produit de fonctions usuelles dérivables sur , et pour tout réel  :

Donc : est solution de (E)

2. (E’) :

les solutions de (E’) sont les fonctions : ,

3. est une solution de (E) donc :

ssi ,

ssi ,

ssi ,

ssi est une solution de (E’).

Donc : est solution de (E) si et seulement si est une solution de (E’)

4. D’après la question précédente, les solutions de (E) sont les fonctions telles que :

soit

4. Soit une solution de (E) :

D’où :

Partie B

1) est dérivable sur , comme composée et produit de fonctions usuelles dérivables sur , et pour tout réel  :

Pour tout réel  :  ; donc a le signe et le zéro de  :

Donc : sur

sur

Ceci prouve que : admet un maximum en

2)

Donc : est un point de .

3) a) D’après (B-1), admet comme sommet le point d’abscisse , ce qui permet de l’identifier sur le graphique.

b) , donc coupe l’axe à l’ordonnée 1.

On en déduit que coupe l’axe à l’ordonnée 2, donc : , ce qui entraîne que k=2 (d’après (B-2)).

Alors : , donc d’après (B-2), et se coupent en d’abscisse -1, d’où l’unité sur l’axe des abscisses.

4) Soit :

On pose : , et

sont continues sur , donc sur  ; on peut alors faire une intégration par parties :

D’où :

Interprétation graphique : est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par , l’axe , l’axe et la droite d’équation .